¿Cuál es la solución para [matemáticas] x ^ 2-6x + 1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] -5 \ left (\ frac {3} {5} \ right) ^ x-2 = 0 [/ matemáticas ]?

Answer 1

El primero se puede hacer rápidamente, si reconoce el cuadrado en el lado izquierdo …

[matemáticas] x ^ 2–6x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2–6x + 9–9 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x-3) ^ 2–8 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x-3) ^ 2 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 3 \ pm 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

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Para el segundo

[matemáticas] -5 \ izquierda (\ dfrac {3} {5} \ derecha) ^ x-2 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica \ izquierda (\ dfrac {3} {5} \ derecha) ^ x = – \ dfrac {2} {5} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica x \ ln \ left (\ dfrac {3} {5} \ right) = \ ln \ left (- \ dfrac {2} {5} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {\ ln (-1) + \ ln \ left (\ dfrac {2} {5} \ right)} {\ ln \ left (\ dfrac {3} {5} \ right )}[/matemáticas]

Recordemos de la identidad de Euler que

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica i \ pi = \ ln (-1) [/ matemáticas]

Al poner esto en nuestra solución, obtenemos el número complejo exacto

[matemáticas] x = \ dfrac {i \ pi + \ ln 2- \ ln 5} {\ ln 3- \ ln 5} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] 1) [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ {2} -6x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha x ^ {2} -6x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x = \ dfrac {- (- 6) \ pm \ sqrt {(- 6) ^ {2} -4 (1) (1)}} {2 (1)} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {10 mm} = \ dfrac {6 \ pm \ sqrt {32}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {10 mm} = \ dfrac {6 \ pm {4 \ sqrt {2}}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {10 mm} = 3 \ pm {2 \ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, las soluciones a la ecuación son [matemáticas] x = 3-2 \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 3 + 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas].

[matemáticas] 2) [/ matemáticas] [matemáticas] -5 \ bigg (\ dfrac {3} {5} \ bigg) ^ {x} -2 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow -5 \ bigg (\ dfrac {3} {5} \ bigg) ^ {x} -2 = 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow -5 \ bigg (\ dfrac {3} {5} \ bigg) ^ {x} = 2 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ bigg (\ dfrac {3} {5} \ bigg) ^ {x} = – \ dfrac {2} {5} [/ math]

Por lo tanto, no hay soluciones reales para la ecuación.

Answer 3

Pon las expresiones iguales a 0 para encontrar las raíces.

[matemáticas] \ etiqueta {1} x ^ 2-6x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ small {\ text {Use la fórmula cuadrática para resolverlo:} x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {6 \ pm \ sqrt {36-4}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 3 \ pm 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ etiqueta {2} -5 \ izquierda (\ frac {3} {5} \ derecha) ^ x-2 [/ matemáticas]

Pon las expresiones iguales a 0 para encontrar las raíces.

[matemática] \ implica -5 \ izquierda (\ frac {3} {5} \ derecha) ^ x-2 = 0 [/ matemática]

[matemática] \ implica -5 \ izquierda (\ frac {3} {5} \ derecha) ^ x = 2 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ izquierda (\ frac {3} {5} \ derecha) ^ x = – \ frac {2} {5} [/ matemáticas]

[math] \ small {a \ text {puede reescribirse como:} b ^ {\ log_ {b} (a)}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ left (\ frac {3} {5} \ right) ^ x = \ left (\ frac {3} {5} \ right) ^ {\ log _ {\ frac {3} {5}} \ left (- \ frac {2} {5} \ right)} [/ math]

Tomando [math] \ log _ {\ frac {3} {5}} [/ math] en ambos lados obtenemos:

[matemáticas] x = \ log _ {\ frac {3} {5}} \ left (- \ frac {2} {5} \ right) [/ math]

Sabemos que [math] \ log_ {a} {b} = \ frac {\ ln (b)} {\ ln (a)} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ ln \ left (\ frac {-2} {5} \ right)} {\ ln \ left (\ frac {3} {5} \ right)} [/ math]

Sabemos que [math] \ ln \ left (\ frac {a} {b} \ right) = \ ln (a) – \ ln (b) [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ ln (-2) – \ ln (5)} {\ ln (3) – \ ln (5)} [/ matemáticas]

Para resolver [math] \ ln (-2) [/ math] tenemos que factorizarlo a [math] \ ln (-1 \ cdot 2) [/ math] y luego usar la propiedad [math] \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b) [/ math] obtenemos: [math] \ ln (-1) + \ ln (2) [/ math].

Sabemos por la identidad de Euler [math] e ^ {\ pi i} = – 1 [/ math] que [math] \ ln (-1) = \ pi i [/ math].

Entonces [math] \ ln (-2) = \ ln (2) + i \ pi [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ ln (2) – \ ln (5) + i \ pi} {\ ln (3) – \ ln (5)} \ approx \ small {1.79374 + 6.15002i} [ /matemáticas]

Tomó mucho tiempo escribir esta respuesta, espero que esto haya ayudado 🙂

Answer 4

Si quiere decir para qué valor de x son las dos expresiones iguales, utilicé un método de fuerza bruta práctico pero algo torpe en Microsoft Excel para obtener x = 1.1897232523 que no es exacto pero es exacto para nueve cifras significativas.

Un enfoque más elegante probablemente implicaría métodos numéricos.