Cómo demostrar que [matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {t = 0} ^ {\ infty} \ bigg (\ dfrac {x ^ t} {t!} \ Bigg) [/ math]

Answer 1

La serie Taylor de una función permite encontrar una serie de potencias por

[matemáticas] f (a) + \ frac {f ‘(a)} {1!} (xa) + \ frac {f’ ‘(a)} {2!} (xa) ^ 2 + \ frac {f’ ” (a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots [/ math]

Puede optar por hacer esta expansión en torno a un valor dado de [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] a [/ matemáticas] en este caso. Por lo general, elegimos que sea [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. A veces, las funciones se “comportan mal” en cero y elegimos otros valores. Este no es el caso aquí. Dado esto, si “expandimos” la función cuando [math] a = 0 [/ math] obtenemos. Simplemente haciendo esa sustitución en lo anterior.

[matemáticas] f (0) + \ frac {f ‘(0)} {1!} x + \ frac {f’ ‘(0)} {2!} x ^ 2 + \ frac {f’ ” (0 )} {3!} X ^ 3 + \ cdots [/ math]

Dado que cuando

[matemáticas] f (x) = e ^ x \ Rightarrow f ‘(x) = e ^ x \ Rightarrow f’ ‘(x) = e ^ x \ Rightarrow \ cdots [/ math]

ya que sabemos que esta es la única función (que no sea cero) que se diferencia de sí misma. Y, por supuesto, el valor de [math] e ^ 0 = 1 [/ math], por lo que cada uno de estos cálculos de la función y su derivada son simplemente 1.

Por lo tanto, la serie Taylor se convierte

[matemáticas] 1 + \ frac {1} {1} x + \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]

cuál es el resultado que busca (esa es la expansión del término Sigma en su lado derecho).

Answer 2

Estoy muy sorprendido de que nadie haya mencionado que en realidad es una expansión de un binomio a algún poder.

[matemáticas] \ displaystyle e ^ x: = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac xn) ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} 1 + x + \ frac {n (n-1)} 2 \ times \ frac {x ^ 2} {n ^ 2} + \ frac {n (n-1 ) (n-2)} 6 \ veces \ frac {x ^ 3} {n ^ 3} + \ cdots [/ math]

[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} [/ math] [math] 1 + x + \ frac 12 x ^ 2 \ times (1- \ frac 1n) + \ frac 16 x ^ 3 \ times (1- \ frac 1n) (1- \ frac 2n) + \ cdots [/ math]

[matemáticas] = 1 + x + \ frac 12 x ^ 2 + \ frac 16 x ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]

Estos pasos implican la expansión binomial, tratando n como un número entero muy grande (pero incluso si no es un número entero, no hay error en la expansión anterior), simplificación y límites.

La derivada de la función exponencial también debe probarse si está utilizando la expansión de Taylor.

Answer 3

La expresión anterior se puede probar utilizando la expansión de la serie Mclaurein que establece que:

Aquí f (x) = e ^ x

Sabemos que cualquier derivado de e ^ x es e ^ x. Por lo tanto,

f ‘(x) = f ”(x) = ……. = e ^ x y así

f ‘(0) = f ”(0) = ……. = e ^ 0 = 1

Por lo tanto, nuestra expansión de Mclaurein para e ^ x es

e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + …… que es la respuesta requerida.

Answer 4

[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] generalmente se define con

[math] f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math] (también puedes usar dominios más generales)

[matemáticas] f = f ‘[/ matemáticas] y [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]

Junto con el teorema de Picard-Lindelöf existe una solución única.

El primero es bastante obvio.

y para la segunda nota que la serie es absolutamente convergente [matemáticas] (\ frac {x ^ t} {t!}) ‘= \ frac {tx ^ {t-1}} {t!} = \ frac {x ^ {t-1}} {(t-1)!} [/ math]

Entonces la función es su propia derivada. Por lo tanto, es la función exponencial.

Answer 5

Básicamente demuestras que esta serie satisface las propiedades básicas de la función [math] e ^ x [/ math].
1. f (0) = 1
2. f ‘= f
3. f (a + b) = f (a) f (b)

El primero lo puedes verificar por sustitución básica.
El segundo lo verificas a través de la diferenciación término por término. Acabas de recuperar lo mismo.
El tercero tiene que usar el teorema binomial y algo de limpieza algebraica.

Answer 6

Puedes usar la serie taylor.