Cómo encontrar los ceros usando una técnica diferente a la común

Si tiene el gráfico exacto, puede encontrar fácilmente los ceros tomando las primeras coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con el primer eje.

Si el gráfico es continuo y conoce la expresión de la función (en la forma [matemática] \; \; y = f (x)) \; \; [/ matemática] podemos usar el teorema del cero intermedio que es muy eficiente y potente teorema y requiere solo un pequeño cálculo que se puede hacer, en la mayoría de los casos, con una calculadora manual. El método es simple: encuentra dos puntos de la gráfica que se encuentran en diferentes medios planos (superior e inferior). Al bisecar las primeras coordenadas, encuentre un nuevo par de puntos (más cerca que los anteriores) en diferentes medios planos. Continúe este proceso hasta que tengamos dos puntos lo suficientemente cerca. Luego tomamos la media de las primeras coordenadas como la raíz aproximada. El éxito de este método radica en el conocimiento previo de la ubicación aproximada de los ceros, que es fácil si se conoce la naturaleza del gráfico. En lugar de bisecar dos primeras coordenadas [matemáticas] \; \; a \;, \; b \; \; [/ math] podemos intentar [math] \; \; a \ ;, \; (2a + b) / 3 \ ;, \; (a + 2b) / 3 \ ;, \; b \; \; [/ math] para obtener dos puntos más cercanos del gráfico en una mitad diferente Aviones. Esto proporciona una rápida convergencia del proceso.

Quieres resolver

[matemáticas] -1+ \ frac {6.25} {(1 + x)} – \ frac {6.25} {(1 + x) ^ 2} + \ frac {1.25} {(1 + x) ^ 3} = 0 [/matemáticas]

Si multiplicas ambos lados con [matemáticas] (1 + x) ^ 3 [/ matemáticas], obtendrás una ecuación cúbica.

Consulte la siguiente página para saber cómo resolver ecuaciones cúbicas:

Fórmula cúbica – de Wolfram MathWorld

Como dice Andreas, multiplique por – (1 + x) ^ 3, luego expanda el resultado para terminar con

f (x) = 4x ^ 3 -13x ^ 2–13 x +1

en x = 4, f (4) <0

en x = 5, f (5)> 0

Entonces la raíz ocurre en algún lugar en [4

Ahora puede usar el método Newton – Ralphson para encontrar un límite para su raíz (esto se puede hacer a mano)

x (n + 1) = x (n) – [f (x (n))] / [f ‘(x (n))],

para obtener x (2), deje que x (1) = 4 y complete f (4) y f ‘(4), continúe igualmente para obtener x (3) si se requiere una mayor precisión.

No estoy seguro de cuál es la técnica “común” que desea una alternativa a

Una manera fácil es el método de bisección. Supongo que un valor de x dice x = 2. Esto da f (x) = 0.435. Luego, siga probando nuevos valores hasta obtener un valor negativo de f (x). Luego enfócate en la respuesta:

xf (x)

2 0.435

3 0.191

4 0,01

5-0,126

4.1 -0.005

4.05 0.002

4.06 0.0007

4.065 0 a 4 decimales

Existen métodos que convergen más rápidamente o podría resolver el cúbico analíticamente, pero la molestia adicional probablemente no valga la pena para una ecuación simple como esta.

Parece que es alrededor de 4. Puede evaluar su expresión alrededor de 4, y en función del signo del resultado (+ o -), intente algo un poco más alto o un poco más bajo. Interpolar: parece que la línea es bastante recta en ese vecindario inmediato.