En su forma más general, la notación [matemáticas] A ^ B [/ matemáticas] en la teoría de conjuntos significa el conjunto de funciones de [matemáticas] B [/ matemáticas] a [matemáticas] A [/ matemáticas].
¿Cómo se correlaciona esto con nuestra comprensión convencional de [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas] como pares de elementos de [matemáticas] R [/ matemáticas]? Podemos tratar 2 como el conjunto especial [math] \ {0, 1 \} [/ math] con dos elementos. Entonces, una función [matemática] f: \ {0, 1 \} \ rightarrow R [/ matemática] define el par ordenado [matemática] (f (0), f (1)) [/ matemática]. Entonces podemos probar que esto es equivalente al producto cartesiano [matemática] R \ veces R [/ matemática] (es decir, proporciona un modelo para el producto de [matemática] R [/ matemática] consigo mismo), y mostrar esto relación en general para cualquier entero positivo.
[math] R ^ 1 [/ math] puede interpretarse como el conjunto de funciones del conjunto [math] \ {0 \} [/ math] a [math] R [/ math]. Estos son isomorfos a los elementos de [matemáticas] R [/ matemáticas]. Podemos tratarlos como idénticos en la mayoría de los casos. Casi todo lo que trabaja en la teoría de conjuntos se define únicamente hasta el isomorfismo.
Este enfoque (que ciertamente no es el único) nos da la capacidad de definir conjuntos como [matemática] R ^ 0 [/ matemática], [matemática] R ^ {\ N} [/ matemática], [matemática] R ^ {\ R} [/ math], [math] R ^ {(R \ times R)} [/ math] o [math] R ^ {(R ^ R)} [/ math].
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El problema es que no existe una notación teórica de conjuntos estándar para lo que es el conjunto “[matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática]”. Para los números naturales hay una definición estándar que hace que [math] R ^ {n} [/ math] se comporte bien. Ciertamente, podemos definir 1/2 en términos de teoría de conjuntos como una clase de equivalencia de pares de enteros. Pero esa clase de equivalencia [matemáticas] \ {(1,2), (2,4), (3,6), (-1, -2), (4,8), \ ldots \} [/ matemáticas] es isomorfo a los enteros, por lo que si intentamos aplicar la definición anterior obtenemos algo muy parecido a [math] R ^ {\ Z} [/ math] o [math] R ^ {\ N} [/ math]. No es útil de la misma manera que la definición de potencias fraccionarias de números reales individuales es útil (y puede formalizarse a través de la función exponencial).
La aritmética cardinal también es un callejón sin salida. Podríamos desear que [math] R ^ {1/2} [/ math] sea una “raíz cuadrada” de [math] R [/ math], es decir, algún conjunto [math] S [/ math] tal que [math ] S \ veces S = R [/ matemáticas]. Pero si [math] R [/ math] es infinito, esto no nos da nada fundamentalmente diferente, ya que [math] | R \ times R | = | R | [/ matemáticas]. Si [math] R [/ math] es finito, entonces tal vez podríamos encontrar una definición para [math] S [/ math] cuando [math] | R | [/ math] es un cuadrado (hasta el isomorfismo) pero eso no tiene valor No resultó lo suficientemente útil como para encontrar una amplia adopción como notación. No hay forma conocida de extender la noción a otro tipo de conjuntos.
Quizás la lógica no clásica (como la teoría de conjuntos difusos) proporcionaría un modelo en el que los “exponentes” fraccionarios en el conjunto tienen un significado, pero dentro de la teoría de conjuntos estándar la expresión [matemáticas] R ^ {x} [/ matemáticas] carece de sentido si x no es un conjunto o un número natural.