¿Es posible integrar [math] \ int_0 ^ 1 \ delta (0) dx [/ math]?

Answer 1

Sí, aunque dependiendo de lo que realmente quiere decir, podría ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

La función delta de Dirac no es una función. Pertenece a la clase de objetos conocidos como funciones generalizadas o distribuciones. Estos objetos están definidos por lo que sucede cuando los integra contra funciones.

Cuando se usan las funciones integrales de Lebesgue que son cero en casi todas partes (no es cero en un conjunto de medida cero), la integral siempre es cero (cuando se usa la medida estándar de Lebesgue). Sin embargo, puede definir una secuencia de funciones integrables de Lebesgue que se acerquen a través de la identidad convolutiva, que es el Delta de Dirac.

Entonces, cualquier integral que tenga el delta de Dirac es técnicamente un abuso de notación. Sin embargo, lo usamos como sigue.

[matemática] \ int_a ^ b \ delta (x) dx = 1 [/ matemática] si [matemática] a <0 <b, 0 [/ matemática] si [matemática] 0 <a, b <0 [/ matemática]

Observe que si el cero se encuentra dentro del conjunto abierto [math] (a, b) [/ math], o fuera del conjunto cerrado [math] [0,1] [/ math], entonces no hay problema. La pregunta es qué sucede en el límite, y si integramos de un límite de una integral a otra ¿es eso implícitamente un conjunto abierto o un conjunto cerrado?

Si configuro esto usando la teoría de la medida, una integral con una distribución delta de Dirac en el interior debería ser lo mismo que integrar un conjunto con respecto a la medida de dirac centrada en cero.

[matemática] \ delta (S) = 1 [/ matemática] si [matemática] 0 \ en S, 0 [/ matemática] de lo contrario

Luego especifico qué conjunto en particular estoy integrando

[matemáticas] \ int _ {[0,1]} d \ delta = \ delta ([0,1]) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int _ {(0,1)} d \ delta = \ delta ((0,1)) = 0 [/ matemáticas]

Como puede ver, importa si incluyo o no el punto cero.

La integración de Lesbegue es mucho más precisa y poderosa que la integración de Riemann.

Answer 2

Supongo que quiere decir delta de x no delta de 0 (de lo contrario, el valor es infinito). Depende de cómo se defina el problema. Hay 3 posibles límites. 1) límite de una función que se acerca a la “forma” de la función delta. En ese caso, el valor es 1/2 porque generalmente la función definida es simétrica (tiene que ver con límites de otras propiedades). Otros límites son los de 0+ o 0- para el valor inicial. Claramente, 0+ tiene un valor de 0 y 0- tiene un valor de 1. En términos generales, el dominio del problema le informará sobre qué límite es apropiado.

Answer 3

¿Es posible ?
¿Seguro Por qué no?

La “función” de Dirac [matemática] \ delta [/ matemática] se define como 0 en todas partes, excepto en [matemática] x = 0 [/ matemática], pero que [matemática] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x) dx [/ math] = 1.

La idea detrás de cómo Dirac [math] \ delta [/ math] podría tener propiedades tan peculiares es que [math] \ delta [/ math] es un límite de una secuencia de funciones con estas propiedades integrales. Por lo tanto, debe entenderse en este contexto. Que, en este límite, [math] \ delta (x) = 0, x \ neq 0 [/ math]. Pero en x = 0, ahí es donde están todas las ‘cosas’. Entonces, podría decir que su integral es 1.

O, dependiendo de cómo haya definido su [matemática] delta [/ matemática], el proceso limitante era (como es comúnmente) simétrico acerca de [matemática] x = 0 [/ matemática]. Entonces, la integral de [math] 0 \ leq x \ leq 1 [/ math], nunca podría recoger la “mitad limitante” donde [math] x <0 [/ math]. En ese caso, el valor podría ser [matemática] 1/2 [/ matemática].

O, [inserte alguna otra explicación …]

Entonces, esa es la pregunta: ¿qué significan sus [matemáticas] \ delta [/ matemáticas]?

Answer 4

[Asumo que la intención era delta (x), de lo contrario es simplemente una integral de una constante].

El delta de Dirac, se define como una función con valor infinito en 0, y 0 en caso contrario. Por simplicidad, suponga que el rango de integración es de -infinito a + infinito. Aquí la respuesta diverge entre físicos y matemáticos.

Físicos : Por supuesto, y el valor es 1 . Prueba: no nos regañes con formalidades.

Matemáticos : No para Riemann integral. Sí con Lebesgue integral con un valor 0 . Prueba: aplicación directa de la definición integral de Lebesgue.

Pero, se pone más interesante. Implícito en la discusión anterior es que delta es una función de los números reales a los números reales. Si, en cambio, lo consideramos funcional lineal en un espacio apropiado de las llamadas funciones de prueba (generalmente funciones infinitamente derivables con soporte compacto), no solo podemos obtener los resultados de los físicos, incluso podemos derivar la función delta infinitamente muchas veces.