Si m / a = n / b entonces, ¿cómo puedo probar que (m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) = (am + bn)?

Answer 1

[matemáticas] \ dfrac {m} {a} = \ dfrac {n} {b} = \ lambda [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow m = a \ lambda, n = b \ lambda [/ math]

Ahora,

[matemáticas] \ left (m ^ 2 + n ^ 2 \ right) \ left (a ^ 2 + b ^ 2 \ right) = \ lambda ^ 2 \ left (a ^ 2 + b ^ 2 \ right) ^ 2 [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ lambda ^ 2 \ izquierda (a ^ 4 + 2 a ^ 2 b ^ 2 + b ^ 4 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (a ^ 2 \ lambda ^ 2 \ right) a ^ 2 + 2 \ left (a \ lambda \ right) \ left (b \ lambda \ right) ab + \ left (b ^ 2 \ lambda ^ 2 \ derecha) b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ izquierda (m ^ 2 a ^ 2 + 2mnab + n ^ 2 b ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (ma \ right) ^ 2 + 2 \ left (ma \ right) \ left (nb \ right) + \ left (nb \ right) ^ 2 [/ math]

[math] = \ left (ma + nb \ right) ^ 2 [/ math]

Answer 2

Supongamos que m / a = n / b = k

Entonces m = ak yn = bk

Ahora toma LHS

(m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 * k ^ 2 = (a * ak + b * bk) ^ 2 = (am + bn) ^ 2

Por lo tanto demostrado

Answer 3

¡¡Espero eso ayude!!

Answer 4

m / a = km = ak yn = bk

m ^ 2 + n ^ 2 = k ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2)

(m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) = k ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 …………………… (1)

Ahora

am = m ^ 2 / k bn = n ^ 2 / k

(am + bn) = 1 / k (m ^ 2 + n ^ 2) (am + bn) ^ 2 = 1 / k ^ 2 * k ^ 4 * (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2

(am + bn) ^ 2 = k ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 = (m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) de (1)

por lo tanto demostrado