Ver aquí [1]
Hice esto antes una vez hoy y antes.
[matemáticas] x ^ {x} = (e ^ {\ ln (x)}) ^ {x} = e ^ {x \ ln (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {x \ ln (x)} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(x \ ln (x)) ^ {k}} {k!} [/ matemáticas]
- ¿Existe una cantidad infinita de números naturales que se puedan expresar como 2 (a ^ 2 + 1) / a?
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entonces [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} = \ sum_ {x = 1} ^ {n} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(x \ ln (x)) ^ {k}} {k!} [/ math]
[matemáticas] \ int_ {1} ^ {n} x ^ {x} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} \ frac {\ ln (x) ^ {k } (- k + 1) \ ln (x) ^ {- k} \ Gamma (k + 1, – (k + 1) \ ln (x))} {k + 1} | _ {1} ^ {n } \ leq \ sum_ {x = 1} ^ {n} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(x \ ln (x)) ^ {k}} {k!} \ leq \ int_ {2} ^ {n + 1} x ^ {x} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} \ Frac {\ ln (x) ^ {k} (- k + 1) \ ln (x) ^ {- k} \ Gamma (k + 1, – (k + 1) \ ln (x))} {k + 1} | _ {2} ^ {n + 1} [/matemáticas]
Notas al pie
[1] Respuesta de Ryan Howe a ¿Cuál es la suma de [matemáticas] 1 ^ 1 + 2 ^ 2 + 3 ^ 3 + \ cdots + n ^ n [/ matemáticas]?