Si [math] f (x) [/ math] se define para todos los positivos [math] x> 1 [/ math] de modo que [math] 11f (x + 1) + 5f (x ^ {- 1} +1) = \ log_ {10} {x} [/ math]. ¿Qué es [matemáticas] f (6) + f (17) + f (126) [/ matemáticas]?

Answer 1

la respuesta es [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas] .

primero resolvamos para [math] f (6) [/ math],

[matemáticas] f (6) = f (5 + 1) [/ matemáticas] y de la condición anterior

[matemáticas] 11f (x + 1) + 5f (x ^ -1 + 1) = log x [/ matemáticas]

poner [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] 11f (6) + 5f (1/5 + 1) = log 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] => 11f (6) + 5f (6/5) = log 5 ——— (i) [/ matemáticas]

ahora pon [math] x = 1/5 [/ math] obtenemos,

[matemáticas] 11f (1/5 + 1) + 5f (1/1/5 + 1) = log (1/5) [/ matemáticas]

[matemáticas] => 11f (6/5) + 5f (6) = -log 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] => 5f (6) + 11f (6/5) = -log 5 ——— (ii) [/ matemáticas]

[matemáticas] (i) * 11 – (ii) * 5 [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] (121-25) f (6) = (11 + 5) log 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] => 96f (6) = 16log 5 => 6f (6) = log 5 [/ matemáticas]

o [matemáticas] f (6) = 1/6 log 5 [/ matemáticas]

de manera similar, podemos obtener valores de [math] f (17) [/ math] y [math] f (126). [/ math]

[matemática] f (17) = 1/6 log 16 yf (126) = 1/6 log 125 [/ math]

sumando los tres que obtenemos,

[matemática] = 1/6 (log 5 + log 16 + log 125) = 1/6 (log 5 * 16 * 125) [/ math]

[matemáticas] = 1/6 (log 5 ^ 4 * 2 ^ 4) = 4/6 (log 10) = 2/3 * 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2/3 [/ matemáticas]

Answer 2

Answer 3

Dado que f (x) se define para todos los x positivos, entonces podemos reemplazar x por 1 / x. Después del reemplazo, obtendremos dos ecuaciones que involucran f (x) yf (1 / x) y allí podemos resolverlas como ecuaciones lineales en dos variables y podemos encontrar f (x) y, por lo tanto, podemos encontrar el valor requerido.