Si podemos inventar un número [math] i [/ math] para que [math] i ^ 2 = -1 [/ math], ¿por qué no podemos tener un número a para que [math] \ sin a = 2 [ /matemáticas]?

Answer 1

Mira, estás equivocado aquí. Existe en el ámbito de los números complejos.

Se sabe que [math] e ^ {ix} = i \ sin x + \ cos x [/ math]. Esto se conoce como la fórmula de Euler.

De ello se deduce que [matemáticas] \ sen x = – \ frac {i} {2} (e ^ {ix} -e ^ {- ix}) [/ matemáticas]

Con estos resultados, podemos calcular, aunque con cierta dificultad, que [matemática] \ sen x = 2 [/ matemática] cuando [matemática] \ enorme {x = {\ frac {\ pi} {2}} – i \ ln ( 2+ \ sqrt {3})} [/ math].

Esto se puede confirmar a través de Wolframalpha.

Por lo tanto, tenemos un número [math] a [/ math] para que [math] \ sin a = 2 [/ math].

En términos más generales, podemos hacer encontrar [math] a [/ math] para cualquier [math] x [/ math] tal que [math] \ sin a = x [/ math]

Esto se puede ver a través de este gráfico de [math] \ arcsin x [/ math].

Answer 2

S en θ = O opuesto / H ypotenusa

entonces si S en θ = 2

opuesto = 2 * hipotenusa

Ahora, si observa la definición básica de hipotenusa, es el lado más largo de un triángulo rectángulo. ¿No es un poco contradictorio?

También el teorema de Pitágoras no podría sostenerse.

Entonces, para concluir, asignar S en θ = 2 no tiene una realización práctica en el sentido de que no se puede formar un triángulo para tal θ

Answer 3

Bueno, tu podrías; de eso se tratan las matemáticas. Extendemos ideas, abstraemos y exploramos. Esta es una buena pregunta.

Es importante mencionar que cuando crea nuevos objetos, desea que interactúen con los originales de manera coherente. Entonces, deberíamos esperar que el nuevo valor se comporte como un número, y en general el nuevo conjunto de valores que le da a la función seno una extensión exótica debería interactuar como se esperaba. Además, podríamos continuar esperando que el seno sea de alguna manera suave en esta extensión.

Aquí estoy en una tangente (har har), pero la moraleja de la historia es que puedes hacer casi cualquier cosa en matemáticas, siempre y cuando te asegures de que las cosas sean consistentes y tal vez compatibles con las cosas actuales. Felices aventuras!

Answer 4

No necesitamos otro número como [math] \ beta [/ math] tal que [math] sin (\ beta) = 2 [/ math]. Ya tenemos dicho número definido en términos de [matemáticas] i [/ matemáticas]

Según la fórmula de Euler, [math] sin (\ theta) = \ frac {e ^ {i \ theta} – e ^ {- i \ theta}} {2} [/ math], que significa para ese número del que está hablando , [matemáticas] sin (\ beta) = 2 \\ \ implica e ^ {i \ beta} – e ^ {- i \ beta} = 4 \\ \ implica e ^ {2i \ beta} – e ^ {i \ beta} – 1 = 0 [/ matemáticas]

Esto se puede resolver fácilmente, ya que es un elemento cuadrático en [math] e ^ {i \ beta} [/ math]. Resolver nos dice

[matemáticas] e ^ {i \ beta} = \ frac {1 \ pm 3} {2} \\ \ implica e ^ {i \ beta} = 2, -1 \\ \ implica \ beta = -iln2, -i * – \ pi = -i * ln (2), i * \ pi [/ math]

Entonces, hay tal número.

Answer 5

Puedes perfectamente.

Como consecuencia, terminaríamos con [math] \ cos (a) = \ sqrt {1- \ sin ^ 2a} = \ sqrt {1–4} = i \ sqrt3 [/ math]. (Bueno, también podría haber sido [math] -i \ sqrt3 [/ math], pero resulta que no importa mucho). También tendríamos [math] \ sin (2a) = 2 \ sin a \ cos a = 4i \ sqrt3 [/ math], y así sucesivamente, descubriendo muchas más identidades sobre nuestra constante [math] a [/ math].

Ahora, resulta que tenemos una forma de aplicar [math] \ sin [/ math] a los números complejos, aprovechando ciertas propiedades analíticas que tiene la función seno. Específicamente, si ha aprendido acerca de los límites, sabemos que [matemáticas] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x = 1 [/ matemáticas] (hay un argumento geométrico muy bueno de por qué esto es así; solo funciona si [math] \ sin [/ math] está en radianes). Esto resulta ser una propiedad muy agradable, y solo hay una forma de extender la función seno a los números complejos que preservan esa propiedad, así como las fórmulas de suma.

Como resultado, [matemáticas] \ sin (a + bi) = \ frac12 (\ sin (a) (e ^ b + e ^ {- b}) + i \ cos (a) (e ^ be ^ {- b})) [/ math], donde [math] e \ aprox2.71828 [/ math]. Usando esto y algo de álgebra, encontramos que [math] \ arcsin (2) = \ frac \ pi2-i \ log_e (2+ \ sqrt3) [/ math]. Es decir, su constante [matemáticas] a [/ matemáticas] ya existe en los números complejos.

Entonces, está completamente permitido fingir que hay una [matemática] a [/ matemática] tal que [matemática] \ sin (a) = 2 [/ matemática], porque hay una [matemática] a [/ matemática] tal que [ matemáticas] \ sin (a) = 2 [/ matemáticas].

Answer 6

En primer lugar, debes saber que el seno no es un número, es una relación. Como todos aprendimos en nuestros días escolares, es básicamente una relación de la longitud del lado opuesto del triángulo rectángulo a la longitud del lado de la hipotenusa de ese triángulo. No puede dibujar un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa sea más corta que el lado opuesto.
Entonces, siempre la longitud del lado opuesto es menor que la del lado de la hipotenusa.
Deje que la longitud del lado opuesto sea ‘O’ y la de la hipotenusa sea ‘H’
De las conclusiones anteriores,
O 1
Como todos sabemos que pecado a = O / H—> 2
De 1 y 2, sin a <1, a menos que sea una línea recta donde Sina = 1
Por lo tanto, no podemos asumir o inventar ningún valor para un tal que sin a> 1,
Espero que quede claro por qué es imposible que la función seno tenga un valor mayor que el de 1.

Answer 7

Hay algunas cosas importantes que son falsas.

1. No solo inventamos números, inventamos conjuntos completos de números junto con operaciones en ellos que cumplen ciertos axiomas. Por supuesto, lo que inventas no tiene que tener sentido, pero no es relevante.
2. sin (x) es una función x ^ 2 tiene un significado algebraico. Para que algo sea una función requiere un dominio y un codominio. Entonces su nuevo número inventado tendría que estar en el conjunto.
3. Las funciones también son cualquier mapeo entre 2 conjuntos. Entonces sin (# [correo electrónico protegido] ) = * # @ es totalmente válido si se trata de elementos de dominio y codominio. Pero esto no es lo que queremos que sea el pecado (x).

[matemáticas] f: A \ rightarrow B [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ mapsto f (x) [/ matemáticas]

es la forma general de una función.

Y la última pero menos importante parte. sin (x) se puede definir con el dominio como los números complejos y luego sin (a) = 2 para un a [math] \ in \ mathbb {C} [/ math]

[matemáticas] pecado: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math]

[matemáticas] x \ mapsto \ frac {1} {2i} (e ^ {ix} -e ^ {- ix}) [/ matemáticas]

Cuál es la definición compleja de la función sinusal.

Answer 8

Existe un número tal que sin (x) = 2, infectar sin (z) es una función completa y el rango de una función completa no constante es un espacio complejo completo o complejo menos un solo punto. Entonces, para cada y en el espacio complejo existe az en complejo tal que sin (z) = y.

Answer 9

Debido a que inventamos i, podemos encontrar un número complejo cuyo pecado es 2. Google ‘asin (2)’ y ver.