Entonces estás viendo la serie de poder
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n \ gt {0}} \ frac {x ^ n} {n} [/ matemáticas]
Antes de preguntar cuál es su suma, pregunte dónde está definido. El siguiente teorema lo ayudará, se llama criterio de D’Alembert (o relación de descanso):
[matemáticas] \ text {let} \ displaystyle \ sum_ {n \ ge {0}} a_nz ^ n \ text {sea una serie de potencia compleja de radio de convergencia R}. \\[/matemáticas]
- ¿Cuál es el valor de x para el cual [matemáticas] x ^ 6 = i ^ 6 [/ matemáticas]?
- Si m / a = n / b entonces, ¿cómo puedo probar que (m ^ 2 + n ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) = (am + bn)?
- ¿Es R ^ 1 igual a R, y si no, pueden considerarse isomórficos? Además, ¿hay algún significado para R ^ n donde n no sea igual a un número entero mayor que 0?
- ¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de [math] \ frac {s ^ 3} {s ^ 4 + 4a ^ 4} [/ math]?
- ¿Por qué ‘a dividido por b’ significa lo mismo que ‘a multiplicado por el recíproco de b’?
[matemáticas] \ text {If} \ \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ | a_ {n + 1} \ |} {\ | a_n \ |} = L, \ \ text {then} \ R = \ frac {1} {L}. [/ Math]
Aquí, R = 1. Entonces [math] \ text {let x} \ in] -1,1 [\ text {be a number real} [/ math]
[matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} \ \ text {está bien definido, derivemoslo: } \\ \ displaystyle f ‘(x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = \ frac {1} {1-x} \\\ text {según la geometría teorema de la serie.} \\\ text {Ahora integre de nuevo desde 0:} \ f (x) = – \ ln (1-x) \\\ text {y finalmente:} \ \ forall x \ in] -1, 1 [\,, f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} = \ ln \ left (\ frac {1} {1-x} \ right) [/ math]
Tenga en cuenta que esta serie diverge cuando x = 1 (serie armónica), y le da una idea de por qué [matemáticas] \ \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k} \ aprox ln ( n), [/ matemáticas]
… y que todavía converge cuando x = -1, lo que le da [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n} = – \ ln (2 ) [/ math], aunque todavía hay un poco de trabajo para demostrarlo.