¿Qué se debe agregar a [matemáticas] x ^ 3 + 6x ^ 2 – x + 5 [/ matemáticas] para que sea exactamente divisible por [matemáticas] (x + 3) [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Qué se debe agregar a [matemáticas] x ^ 3 + 6x ^ 2 – x + 5 [/ matemáticas] para que sea exactamente divisible por [matemáticas] (x + 3) [/ matemáticas]?

El teorema del resto dice que si [math] f (x) [/ math] es un polinomio, entonces [math] f (x) / (xa) [/ math] tiene un resto de [math] f (a) [/ matemáticas].

Por lo tanto, con [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 – x + 5 [/ matemáticas], vemos que el resto de [matemáticas] f (x) / (x + 3) [/ matemáticas] es [matemáticas] f (-3) = – 27 + 54 + 3 + 5 = 35 [/ matemáticas]. Si queremos que el resto sea 0, reste 35 (o, de acuerdo con el enunciado de la pregunta, “agregue -35”).

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Este es el razonamiento detrás de la respuesta de Kimtee Goh . Oktay Ismayilov tiene razón al decir que hay otras cosas que uno podría agregar, pero no en su elección de “lo más simple”; puede agregar [matemática] -35 + k (x + 3) [/ matemática] para cualquier número real [matemática] k [/ matemática], o de hecho (como señaló Xavier Dectot ) cualquier polinomio [matemática] g (x) [/ math] tal que [math] g (-3) = – 35 [/ math].

Answer 2

El teorema del resto establece que el resto de la división entre [matemáticas] (x + 3) [/ matemáticas] será igual a conectar -3 a la función (el valor de x que hace que x + 3 = 0. Entonces, conecte -3 para x da [matemática] -27 + 54 + 3 + 5 = 35. [/ Matemática] Entonces, para obtener un resto de 0, resta 35 del polinomio para obtener [matemática] x ^ 3 + 6x ^ 2 – x – 30 [/ math], que es divisible por (x + 3).

¡Espero que esto ayude!

Answer 3

El teorema del resto es uno de los caminos a seguir, pero solo es un subconjunto de la respuesta (sí, me gusta reinventar la rueda).

Entonces tenemos una función, supongo que [math] \ mathbb C \ rightarrow \ mathbb C [/ math] se define de la siguiente manera

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 – x + 5 [/ matemáticas]

Queremos agregar algo a esa función para que sea divisible por [matemáticas] (x + 3) [/ matemáticas] Es decir que estamos buscando otra función polinómica, [matemáticas] g [/ matemáticas], de [ matemática] \ mathbb C \ rightarrow \ mathbb C [/ math] de modo que exista una tercera función polinómica [math] h [/ math], de [math] \ mathbb C \ rightarrow \ mathbb C [/ math] tal que

[matemáticas] f (x) + g (x) = (x + 3) h (x) [/ matemáticas]

De esto podemos deducir que

[matemáticas] f (-3) + g (-3) = 0 [/ matemáticas]

Como ya se ha señalado

[matemáticas] f (-3) = -27 + 6 \ veces 9 – (-3) + 5 = -27 + 54 + 3 + 5 = 35 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] 35 + g (-3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (-3) = -35 [/ matemáticas]

Entonces sí, la función constante

[matemáticas] g (x) = -35 [/ matemáticas] es una de las respuestas, pero de hecho, cualquier función polinómica que satisfaga

[matemáticas] g (-3) = -35 [/ matemáticas] sería una respuesta correcta a esa pregunta.

Answer 4

Un par de formas de abordar esto. Lo más fácil es aplicar el teorema del resto, que dice que al sustituir la x en su expresión (función) con el -3 que resta de la x [- (- 3)] por la que divide obtendrá el resto de esa división.

[matemáticas] (- 3) ^ 3 + 6 (-3) ^ 2 – (- 3) +5 [/ matemáticas]

Lo que da 35.

Como ese es el número que queda de la división, debes restarlo de la expresión original para que no quede nada.

Por lo tanto, la respuesta a qué agregar es: agregar -35.

Answer 5

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 6x ^ 2-x + 5 [/ matemáticas]

Si [math] f (x) [/ math] se divide por [math] (x + 3) [/ math], el resto se da por [math] f (-3) [/ math], debido al resto teorema

[matemáticas] f (-3) = (- 3) ^ 3 + 6 (-3) ^ 2 – (- 3) +5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 27 + 54 + 3 + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 27 + 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 35 [/ matemáticas]

Agregue [math] -35 [/ math] al polinomio original, y será divisible por [math] (x + 3) [/ math]

Answer 6

digamos que f (x) = x ^ 3 + 6 x ^ 2 – x + 5 + c sea divisible por x + 3

por teorema del factor, f (-3) = -27 + 6 (9) + 3 + 5 + c = 0

entonces c = -35

Answer 7

Tenga en cuenta que por división larga polinómica tenemos

Answer 8

Suma (—35) para que se convierta en x³ + 6x² — x — 30 = (x + 3) (x² + 3x — 10)