¿Qué es [math] 3 \ sin ^ 2 x + 4 \ sin x [/ math] en la forma [math] a \ cos ^ 2 x + b \ cos x + c [/ math]?

* A2A

No creo que esto sea posible. Suponer que

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 x + 4 \ sin x = a \ cos ^ 2 x + b \ cos x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3–3 \ cos ^ 2 x + 4 \ sin x = a \ cos ^ 2 x + b \ cos x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica –3 \ cos ^ 2 x + 4 \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -x \ right) + 3 = a \ cos ^ 2 x + b \ cos x + C [ /matemáticas]

Comparando coeficientes, tenemos

[matemáticas] a = -3, c = 3 [/ matemáticas]

No puedo comparar la otra parte ya que, [matemáticas] \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2} -x \ right) \ neq \ cos x [/ math]

y si me convenzo de compararlos, estoy diciendo que

[matemática] \ sen x = \ cos x [/ matemática], que solo es posible cuando [matemática] x = \ dfrac {\ pi} {4} \ pm n \ pi [/ matemática] donde [matemática] n \ in \ Z [/ matemáticas]

y en ese caso [matemática] a = 3, b = 4, c = 0 [/ matemática]. Entonces, no se ve bien.

No existe tal condición dada en la pregunta que [math] x = \ dfrac {\ pi} {4} [/ math]. Entonces, una vez más, esto no parece posible.

Supongamos que existen tales valores de [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática].

Entonces debemos tener [math] 3 \ sin ^ 2 {x} +4 \ sin {x} = a \ cos ^ 2 {x} + b \ cos {x} + c, \ forall x [/ math], derecha ?

Como esta igualdad es verdadera en [math] x = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math], tenemos

[matemáticas] c = a \ cos ^ 2 {\ dfrac {\ pi} {2}} + b \ cos {\ dfrac {\ pi} {2}} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 \ sin ^ 2 {\ dfrac {\ pi} {2}} + 4 \ sin {\ dfrac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]

Entonces tenemos [matemáticas] c = 7. [/ Matemáticas]

De la misma igualdad en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pi [/ matemáticas], obtenemos respectivamente que

[matemáticas] a + b + c = 0 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] a-b + c = 0 \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

[matemática] (1) + (2) [/ matemática] produce [matemática] a + c = 0. [/ matemática]

Entonces [matemáticas] a = -7 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0. [/ Matemáticas]

Lamentablemente, estos valores no funcionan si establecemos [math] x = – \ dfrac {\ pi} {2} [/ math] por ejemplo desde

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 {- \ dfrac {\ pi} {2}} + 4 \ sin {- \ dfrac {\ pi} {2}} = -1 \ neq 7 = -7 \ cos ^ 2 { – \ dfrac {\ pi} {2}} + 7 [/ matemáticas]

Por lo tanto, no existen tales valores que hagan que la identidad dada sea verdadera para cada valor de [math] x [/ math].

Tomando sen (x) para significar lo mismo que sin (x). Necesitamos resolver

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 (x) + 4 \ sin (x) = a \ cos ^ 2 (x) + b \ cos (x) + c [/ matemáticas]

No estoy seguro de que sea posible.

Tome [matemáticas] x = 90, \ sin (90) = \ sin ^ 2 (90) = 1, \ cos (90) = \ cos ^ 2 (90) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 * 1 + 4 * 1 = a * 0 + b * 0 + c [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] c = 7 [/ matemáticas].

Ahora toma [matemáticas] x = 270. \ sin (270) = -1, \ sin ^ 2 (270) = 1, \ cos (270) = \ cos ^ 2 (270) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 * 1 + 4 * -1 = c [/ matemáticas]

y [matemáticas] c = -1 [/ matemáticas]. Dando una contradicción.