¿Existe una cantidad infinita de números naturales que se puedan expresar como 2 (a ^ 2 + 1) / a?

Eso depende de si [math] a [/ math] también se requiere que sea un número natural, o si puede ser algo más, como real o complejo.

Si [math] a [/ math] debe ser natural, entonces [math] \ frac {2 (a ^ {2} +1)} {a} [/ math] solo puede
ser 4 o 5.

Sin embargo, si se permite que [math] a [/ math] sea real, entonces cualquier número natural mayor que 3 puede representarse de esta manera.

Para obtener los números naturales menores o iguales a 3, deberá permitir que [math] a [/ math] sea complejo.

Para el número natural [matemáticas] n [/ matemáticas], comenzamos con la ecuación …

[matemáticas] 2a ^ {2} + 2 = an [/ matemáticas]

en forma estándar …

[matemáticas] 2a ^ {2} – an + 2 = 0 [/ matemáticas]

y aplica la ecuación cuadrática para resolver [matemáticas] a [/ matemáticas] …

[matemáticas] a = \ frac {n \ pm \ sqrt {n ^ {2} – 16}} {4} [/ matemáticas]

No Básicamente, está preguntando cuántos números naturales diferentes 2 (a ^ 2 + 1) es divisible por a. Esto se reduce a ¿para cuántos números naturla 2 es divisible por a? Es solo 1 y 2.