Si [matemática] x ^ 2-y ^ 2 = 4 [/ matemática] y [matemática] x ^ 3-y ^ 3 = 8 [/ matemática], entonces ¿cuál es el valor de [matemática] xy = [/ matemática] ?

Answer 1

Adivinar y verificar siempre debe ser la primera línea de ataque en este tipo de problemas, por lo que x = 2 e y = 0 funcionarían aquí yx – y = 2. Pero, si insiste en una solución algebraica, aquí hay una.

[matemáticas] x ^ 2 – y ^ 2 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 4 \ hspace {5mm} [/ math] Eq 1

[matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 8 \ hspace {5mm} [/ math] Eq 2

Paso 1

Multiplica ambos lados de la ecuación 1 por [matemática] -y [/ matemática]

[matemáticas] -y \ cdot (x ^ 2 – y ^ 2) \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} (4) \ cdot -y [/ math]

[matemática] \ Longrightarrow -x ^ 2y + y ^ 3 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} -4y \ hspace {5mm} [/ math] Nueva ecuación 1

Paso 2

Agregue la nueva ecuación 1 con la ecuación 2

[matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 8 [/ math]

[matemáticas] + [/ matemáticas]

[matemáticas] -x ^ 2y + y ^ 3 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} -4y [/ math]

[matemáticas] = [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 – x ^ 2y \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 8 – 4y \ hspace {5mm} [/ math] la suma

Paso 3

Factoriza ambos lados de la suma del paso 2

[matemáticas] \ color {rojo} {x ^ 2} \ cdot (\ color {naranja} {x} – y) \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} \ color {red} {4} \ cdot (\ color {naranja} {2} – y) [/ matemáticas]

Paso 4

[matemáticas] x ^ 2 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 4 [/ math]

[matemáticas] \ subrayado {x = 2} [/ matemáticas]

Paso 5

Encuentre [math] y [/ math] usando Eq 1 o Eq 2

[matemáticas] 2 ^ 2 – y ^ 2 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 4 [/ math]

[math] \ Longrightarrow \ underline {y = 0} [/ math]

Paso 6

[matemáticas] x – y \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 2 – 0 \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 2 [/ math]

Entonces,

[matemáticas] x – y \ hspace {2mm} = \ hspace {2mm} 2 [/ math]. Respuesta final

Answer 2

x = 2, y = 0 es la única solución real, pero se puede encontrar una solución compleja en

[matemáticas] x ^ 6 = (y ^ 2 + 4) ^ 3 = (y ^ 3 + 8) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] x ^ 2 – y ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – y) (x + y) = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – y) (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + xy = 2 (x + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 – 2xy = 2 (x + y) – 3xy [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy = 2 (x + y) + xy [/ matemáticas]

sustituir el siguiente

[matemáticas] a = x – y [/ matemáticas]

[matemáticas] b = x + y [/ matemáticas]

[matemáticas] c = xy [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 4 / b [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = 2b – 3c [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = 2b + c [/ matemáticas]

[matemáticas] (4 / b) ^ 2 = 2b – 3c [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 = 6b + 3c [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 + (4 / b) ^ 2 = 8b [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 4 + 16 = 8b ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 4 – 8b ^ 3 + 16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 (b ^ 2 – 4b + 4) + 4b ^ 3 – 12b ^ 2 + 16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 (b – 2) ^ 2 + 4b (b ^ 2 – 4b + 4) + 4b ^ 2 – 16b + 16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3b ^ 2 (b – 2) ^ 2 + 4b (b – 2) ^ 2 + 4 (b ^ 2 – 4b + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (b – 2) ^ 2 (3b ^ 2 + 4b + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (b – 2) ^ 2 (3b + 2 + 2i \ sqrt {2}) (b – \ frac {2 – 2i \ sqrt {2}} {3}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 2, – \ frac {2 + 2i \ sqrt {2}} {3}, – \ frac {2 – 2i \ sqrt {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x – y = a = 4 / b [/ matemáticas]

[matemáticas] x – y = 2, -2 – 2i \ sqrt {2}, -2 + 2i \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Answer 4

¡Solución gráfica!

Considere el siguiente gráfico

Según el gráfico, tanto la curva se corta entre sí en (2,0)

Entonces xy = k

Entonces el valor de k = 2 es la única línea que pasa por el punto de intersección de las 2 curvas.

Por lo tanto, xy = 2

¡Espero que esto ayude!

Answer 5

Eso es realmente interesante, porque suponiendo x real:

x ^ 2 – y ^ 2 = z ^ 2 puede tener soluciones positivas de números enteros donde x, y eN, N = {1, 2, 3…} (Teorema de Pitágoras: 3, 4, 5 y otros Triples de Pitágoras, pero ninguno más pequeño, entonces z no = 2)

y

x ^ 3 – y ^ 3 = z ^ 3 no puede tener soluciones positivas de números enteros en absoluto (último teorema de Fermat). Eso significa que si x, y son números enteros, ambos no pueden ser positivos:

x es 2 e y es 0 satisface ambas ecuaciones, entonces tenemos una solución:

x – y = 2.

con x, ye Z

Ahora podemos eliminar las posibilidades que no se encuentran arriba:

Supongamos que la primera ecuación es E1, y la diferencia de los cuadrados DS. Podemos escribir E1 como:

DS = 4

Deje que la segunda ecuación sea E2, y la diferencia de los cubos DQ. Podemos escribir:

DQ = 8

x = y significa DS = 0 = DQ contradice E1, E2

x, y negativo Reals da DQ negativo, contradice E2

x, Real negativo, y lo que queramos, cambia el signo del primer término en E2, solo puede ser verdadero si x = 0, pero esto da y = -2i como solución compleja para E1. Pero esto da DQ = 8i contradice E2

¿Hay alguna solución compleja?

Answer 6

Denotemos [matemáticas] D: = xy [/ matemáticas].

Entonces es fácil calcular [matemáticas] D ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] D ^ 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] D ^ 2 = x ^ 2-y ^ 2 + 2xy = 4 + 2xy [/ matemáticas]

[matemáticas] D ^ 3 = x ^ 3-3x ^ 2y + 3xy ^ 2-y ^ 3 = 8-3xyD [/ matemáticas]

A partir de estas dos expresiones, se puede encontrar una ecuación polinómica en [matemática] D [/ matemática] eliminando [matemática] xy [/ matemática]:

[matemáticas] 5D ^ 3-12D-16 = 0 [/ matemáticas]

Como mencioné en otra respuesta, para resolver una ecuación cúbica, siempre es bueno comenzar con números enteros pequeños y probar si encajan.

Afortunadamente, [matemáticas] 2 [/ matemáticas] funciona.

Por lo tanto, la ecuación se puede factorizar como:

[matemática] (D-2) (5D ^ 2 + 10D + 8) = 0 [/ matemática]

La ecuación cuadrática tiene un discriminante negativo ([matemática] \ Delta = -60) [/ matemática], por lo tanto, no tiene raíces reales.

Finalmente, [matemáticas] xy = 2 [/ matemáticas].

Espero que esto ayude. Déjeme saber si usted necesita más detalles.

Answer 7

Si suponemos que x = 0, entonces la primera ecuación dice y = 2i y la segunda dice y = -2 o dos raíces complejas pero no imaginarias. Entonces x = 0 no es posible.

Si suponemos que y = 0, entonces x = 2 es una solución. En ese caso xy = 2.

La pregunta es, por tanto, xy = 2 la única solución.

De la primera ecuación, y ^ 2 = x ^ 2 – 4 y de la segunda, y ^ 3 = x ^ 3 – 8. Al eliminar y se obtiene una ecuación cuántica para x, x ^ 6 – 12x ^ 4 + 48x ^ 2 – 64 = x ^ 6 – 16x ^ 3 + 64

es decir, 3x ^ 4 – 4x ^ 3 – 12x ^ 2 + 32 = 0. Como sabemos que x = 2 es una solución, esto tiene como factores

(x-2) (3x ^ 3 + 2x ^ 2 – 8x – 16) = 0 y por inspección x = 2 es otra solución

(x-2) (x-2) (3x ^ 2 + 8x + 8) = 0.

Entonces las soluciones son x = 2, x = (-4 – i sqrt (32)) / 6 y x = (-4 + i sqrt (32)) / 6.

Solo queda encontrar el y correspondiente y verificar si xy = 2.

Al dividir y ^ 3 entre y ^ 2 se obtiene y = (x ^ 3 – 8) / (x ^ 2 – 4) = (x ^ 2 + 2x + 4) / (x + 2) = x + 4 / (x + 2) (excepto cuando y = 0) que podemos calcular y simplificar.

Entonces x – y = -4 / (x + 2) que no es real cuando y no es cero.

Por lo tanto, la solución es única si se supone que xey son reales, pero no de otra manera.

Answer 8

Una posible respuesta usando la intuición:

x = 2, y = 0

Por lo tanto, xy = 2

Answer 9

Respuesta de WolframAlpha ……………………………………… ..
https://www.wolframalpha.com/inp …
Echale un vistazo…………………..