¿Cuál es la forma más fácil de resolver [matemáticas] x ^ 4 – x ^ 3 – x ^ 2 – x – 2 = 0 [/ matemáticas] manualmente?

Answer 1

Una forma de resolver [matemáticas] x ^ 2-x ^ 3-x ^ 3-x-2 = 0 [/ matemáticas] es ponerlo en forma factorizada (si es posible) para que podamos usar la propiedad de producto cero para resolver para x.

Según el teorema de la raíz racional, las posibles raíces son 2, -2, 1 y -1. (Son los factores de la constante (-2) divididos por los factores del coeficiente del primer término (1)).

Para ver cuál de estos funciona, simplemente podemos adivinar y verificar conectándolos.

Para x = 1:

[matemáticas] (1) ^ 4- (1) ^ 3- (1) ^ 3- (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1-1-1-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 3 [/ matemáticas]

Entonces no es x = 1. Probemos x = -1.

[matemáticas] (- 1) ^ 4 – (- 1) ^ 3 – (- 1) ^ 3 – (- 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + (- 1) -1 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]

¡Genial, x = -1 es una solución! Si solo está buscando soluciones reales, puede seguir adivinando y comprobando con 2 y -2.

Sin embargo, si también desea encontrar soluciones complejas, tendremos que hacer una división polinómica. Como -1 es una solución, sabemos que este polinomio tiene un factor de (x + 1).

Podemos usar la división larga polinómica o la división sintética para dividir.

[matemáticas] (x ^ 2-x ^ 3-x ^ 3-x-2) ÷ (x + 1) = x ^ 3-2x ^ 2 + x-2 [/ matemáticas]

Ahora sabemos que:

[matemáticas] x ^ 2-x ^ 3-x ^ 3-x-2 = (x ^ 3-2x ^ 2 + x-2) (x + 1) [/ matemáticas]

Nuestro objetivo ahora es seguir factorizando. Podríamos continuar verificando nuestros posibles factores de 2, -2 y -1. Pero, veo una manera más fácil! Vamos a factorizar agrupando.

[matemáticas] x ^ 3-2x ^ 2 + x-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 (x-2) + (x-2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 1) (x-2) [/ matemáticas]

Ahora tenemos:

[matemáticas] x ^ 2-x ^ 3-x ^ 3-x-2 = (x ^ 2 + 1) (x-2) (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

Resolvemos poniendo cada uno igual a cero y obtenemos 2 y -1 como raíces reales, y positivo y negativo i como raíces complejas.

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Answer 2

Cada vez que encuentro este tipo de ecuaciones polinómicas, empiezo probando valores enteros pequeños y comprobando si funcionan.

Pruebe [matemáticas] -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2 [/ matemáticas]. Si tienes suerte, uno de estos funcionará.

Sucede que [math] -1 [/ math] es una solución.

El polinomio [matemático] P (x): = x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-2 [/ matemático] se puede factorizar como:

[matemática] P (x) = (x + 1) (ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d) [/ matemática] donde [matemática] a, \, b, \, c, \, d [/ math] son ​​coeficientes reales.

Te dejo que demuestres que:

[matemáticas] P (x) = (x + 1) (x ^ {3} -2x ^ {2} + x-2) [/ matemáticas]

Nuevamente, puede aplicar el truco anterior al polinomio [matemático] Q (x): = x ^ {3} -2x ^ {2} + x-2 [/ matemático]

Debes encontrar que [math] 2 [/ math] es un cero.

[math] Q [/ math] puede factorizarse así como:

[matemática] Q (x) = (x-2) (x ^ {2} +1) [/ matemática] (izquierda para que la muestres)

Los ceros de [math] P [/ math] son ​​así:

• [matemática] -1, \, 2 [/ matemática] si buscas reales
• [matemáticas] -1, \, 2, \, -i, \, i [/ matemáticas] si te permites las complejas

Espero que esto haya ayudado.

Answer 3

Comience con las posibles raíces racionales. El teorema de la raíz racional dice que las posibles raíces racionales son {1, -1,2, -2}

1 no es una raíz. (Si 1 fuera una raíz, la suma de los coeficientes sería 0)

-1 es una raíz. Cuando conecta -1 en [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] obtendrá 1 si n es par y -1 si n es impar. En este caso (1 + 1 – 1 + 1 -2 = 0).

Dividir a través de (x + 1).

[matemáticas] x ^ 4 – x ^ 3 – x ^ 2 – x – 2 = (x + 1) (x ^ 3–2x ^ 2 + x – 2) [/ matemáticas]

Ahora se me ocurre que (x-2) es un factor.

[matemáticas] (x + 1) (x – 2) (x ^ 2 +1) = 0 [/ matemáticas]

x tiene 2 raíces reales y 2 raíces complejas.

Answer 4

Recuerde que si un polinomio tiene un coeficiente principal de 1 y existen raíces enteras de un polinomio, entonces serán factores del término constante. El coeficiente principal para su polinomio es de hecho 1, por lo que cualquier raíz entera debe ser un factor del término constante, que es -2. Entonces, las únicas posibilidades son [math] \ pm 1, \ pm 2 [/ math]. Así que solo intentamos esto.

Al conectar los cuatro valores, encontramos que -1 y 2 funcionan, mientras que 1 y -2 no. Así que ahora simplemente usa la división para dividir las [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x-2) [/ matemáticas]. Eso te deja con [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 \ implica x ^ 2 = -1 [/ matemáticas], que obviamente tiene las soluciones [matemáticas] \ pm i [/ matemáticas]. Entonces las cuatro soluciones son solo:

[matemáticas] x = \ pm i, -1,2 [/ matemáticas]

Answer 5

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x-2 = 0 [/ matemáticas]

Reagrupación

[matemáticas] (x ^ 4-x ^ 2-2) – (x ^ 3 + x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2–2) (x ^ 2 + 1) -x (x ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) (x ^ 2-x – 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) (x – 2) (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 \ flecha derecha x = \ pm i [/ matemáticas]

[matemáticas] x – 2 = 0 \ flecha derecha x = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 1 = 0 \ flecha derecha x = -1 [/ matemáticas]

Answer 6

Lo que hice es esto:

1. Fui a Desmos para graficar la función. Se dio cuenta de que esta función tenía al menos una solución entera. ¡Excelente! Deje que una de las soluciones sea [matemática] a [/ matemática], por lo tanto, el factor es [matemática] (xa) [/ matemática]. El factor que tomé es [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas]
2. Hizo una división larga polinómica con el factor y obtuve [matemáticas] (x + 1) (x ^ 3-2x ^ 2 + x-2) [/ matemáticas]
3. Continúe con los mismos pasos con el cúbico: lo graficó y encontró una solución entera [matemática] x = 2 [/ matemática]. Después de la división larga polinómica, el cúbico se factoriza como el producto de estos dos polinomios: [matemática] (x-2) (x ^ 2 + 1) [/ matemática].

Por lo tanto,

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x-2 = (x + 1) (x-2) (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Estos pasos no funcionarán con ningún polinomio. Solo funcionará con polinomios que tengan al menos una solución entre los números racionales.

Con raíces complejas:

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x-2 = (x + 1) (x-2) (x + i) (xi) [/ matemáticas]

Para ser más claro,

Raíces reales:

[matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Raíces imaginarias:

[matemáticas] x = -i [/ matemáticas]

[matemáticas] x = i [/ matemáticas]

Si tiene alguna pregunta, ¡sabe qué hacer!

Answer 7

No sé qué quiere decir con “manualmente”, pero podría hacer algunas cosas.

1. Use una calculadora, vaya a la tabla y encuentre los ceros, use esto para simplificar o resolver completamente las raíces.
2. Usa la división sintética. División sintética
3. Use división larga. Polinomios de índice de álgebra – división – largo .html
4. Estas son probablemente algunas de las formas más fáciles, supongo.

Answer 8

[matemáticas] X ^ 4 – X ^ 3 -X ^ 2-X-2 = 0 [/ matemáticas]

sumar y restar [matemáticas] X ^ 2 [/ matemáticas] en el LHS para obtener

[matemáticas] (X ^ 4-X ^ 3–2X ^ 2) + (X ^ 2 – X – 2) = 0 [/ matemáticas]

Factoriza [matemáticas] X ^ 2 -X-2 [/ matemáticas] a partir de los dos términos en el LHS

[matemáticas] (X ^ 2 – X – 2) (X ^ 2 + 1) = 0. [/ matemáticas]

Estos factores

[matemáticas] (X + 1) (X-2) (X ^ 2 + 1) = 0. [/ matemáticas]

Las soluciones son [matemáticas] X = -1, X = 2, X = \ pm i [/ matemáticas].

Answer 9

Noté algo dentro del polinomio … veamos si mis instintos me sirven bien.

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x-2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 4-x ^ 2-x-1-x ^ 3–1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x ^ 2–1) – (x + 1) – (x ^ 3 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 (x + 1) (x-1) – (x + 1) – (x + 1) (x ^ 2-x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) \ {x ^ 2 (x-1) -1- (x ^ 2-x + 1) \} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x ^ 3-x ^ 2–1-x ^ 2 + x-1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x ^ 3–2x ^ 2 + x-2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) \ {x ^ 2 (x-2) +1 (x-2) \} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) (x-2) (x ^ 2 + 1) = 0 [/ matemáticas]

Parece que tenía razón después de todo.

[matemáticas] x = -1,2, \ pm i [/ matemáticas]

Answer 10

[matemáticas] \ text {Dado que} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Esto muestra que x = + 1 es una raíz de la ecuación anterior} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Podemos escribir} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4-x ^ 3-x ^ 2-x + 2 = x ^ 3 (x-1) -x (x-1) -2 (x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x-1) (x ^ 3-x-2) [/ matemáticas]

[matemática] \ text {Para resolver la ecuación x ^ 3-x-2 = 0 use el método cardón} [/ matemática]

[matemáticas] Sea x = u + v, luego u ^ 3 + v ^ 3 = (u + v) ^ 3–3uv (u + v) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow x ^ 3–3uvx- (u ^ 3 + v ^ 3) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ text {Ahora se compara con x ^ 3-x-2 = 0, tenemos} [/ matemáticas]

[matemáticas] uv = \ frac {1} {3}, u ^ 3 + v ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Ahora resumimos una ecuación, cuyas raíces son u ^ 3 y v ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] t ^ 2–2t + \ frac {1} {27} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ frac {54 ± \ sqrt {(54) ^ 2–4.27.1}} {2.27} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {54 ± \ sqrt {2916–108}} {54} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {54 ± 6 \ sqrt {78}} {108} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {9 ± \ sqrt {78}} {18} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Así que tomamos} [/ matemáticas]

[matemáticas] t_1 = \ frac {9+ \ sqrt {78}} {18}, t_2 = \ frac {9– \ sqrt {78}} {18} [/ matemáticas]

Tomamos, [matemáticas] t_1 = u ^ 3 = \ frac {9+ \ sqrt {78}} {18}, t_2 = v ^ 3 = \ frac {9- \ sqrt {78}} {18} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ Rightarrow u = [\ frac {9+ \ sqrt {78}} {18}] ^ {\ frac {1} {3}} = p, p \ omega, p \ omega ^ 2, v = [ \ frac {9- \ sqrt {78}} {18}] ^ {\ frac {1} {3}} = s, s \ omega, s \ omega ^ 2 [/ math]

[math] \ text {Entonces, la solución requerida de la ecuación original es} [/ math]

[matemáticas] x = 1, (p + s), (p \ omega + s \ omega ^ 2), (p \ omega ^ 2 + s \ omega) [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] \ omega = \ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 11

Answer 12

Consejo general: Pruebe algunos valores / números “obvios” como 0, 1, -1, números pequeños cuya evaluación puede hacer simplemente. Incluso si estos valores no le dan una solución, le darán una idea de cómo crece el polinomio. Observe que los polinomios de grado par pueden no tener raíces, dado que los límites como [math] x \ rightarrow \ pm \ infty [/ math] ambos van a [math] + \ infty [/ math].

Answer 13

X4 – X2 – 2 – X3 – X = 0

X4 – X2 – 2 = X3 + X

(X2 – 2) (X2 + 1) = x (X2 + 1)

X2–2 = X

X2-X-2 = 0

(X-2) (X + 1) = 0

X = 2, X = -1

Answer 14

Después de algunas conjeturas y comprobaciones, determiné que -1 y 2 son raíces. Si grafica la función, puede ver que no hay otras raíces reales. Sin embargo, hay raíces imaginarias.

Las raíces son: [matemáticas] -1, 2, \ pm i [/ matemáticas]