¿Por qué la raíz cuadrada no se distribuye sobre los cuadrados en [math] \ sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) [/ math]?

Creo que encontrará lo que quiere en esta pregunta (desde octubre de 2015): ¿Por qué [matemáticas] \ sqrt {10 ^ 2 + 10 ^ 2 + 5 ^ 2} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 15 [/ matemáticas ] en lugar de [matemáticas] 25 [/ matemáticas]? ¿No hay nada al cuadrado en la raíz cuadrada igual, por lo que la respuesta llega a [matemáticas] 25 [/ matemáticas]?

La formulación de la pregunta vinculada es suficientemente diferente de esta que Quora probablemente evitaría fusionarlas, pero las siete respuestas a esa pregunta abordan la no distribución de raíces cuadradas (y exponenciación) sobre la suma de varias maneras.

También señalaré que (como un ejemplo mucho más simple) [matemáticas] \ sqrt {1 + 1} \ ne 1 + 1 [/ matemáticas], por lo que no hay razón para esperar que esto funcione. Las raíces cuadradas (y otras exponenciaciones) se distribuyen por multiplicación o división, pero no por suma o resta.

Una función binaria, [math] f \ colon \ mathbb R \ times \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math], distribuye sobre otra función, [math] g [/ math], si es para todos [math] a , b, c \ in \ mathbb R [/ math]:

[matemáticas] \ quad f (a, g (b, c)) = g (f (a, b), f (a, c)) [/ matemáticas]

Es una relación rara y cercana entre funciones binarias. Es la excepción más que la regla.

Es familiar porque es cierto de la relación entre multiplicación y suma. Es decir:

[matemáticas] \ quad \ times (a, + (b, c)) = + (\ times (a, b), \ times (a, c)) [/ math]

o, en la notación infija habitual:

[matemáticas] \ quad a \ times (b + c) = a \ times b + a \ times c [/ math]

La exponenciación también se distribuye sobre la multiplicación:

[matemáticas] \ quad (b \ veces c) ^ a = b ^ a \ veces c ^ a [/ matemáticas]

Pero el punto crucial es que la exponenciación no se distribuye sobre la suma. Por lo tanto:

  • [matemáticas] (b + c) ^ 2 \ not \ equiv b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]
  • [matemáticas] \ sqrt {b + c} \ not \ equiv \ sqrt {b} + \ sqrt {c} [/ matemáticas]

En particular:

[matemáticas] \ quad \ sqrt {3 ^ 2 + 2 ^ 2} \ neq \ sqrt {3 ^ 2} + \ sqrt {2 ^ 2} [/ matemáticas]


Se conoce como el sueño del estudiante de primer año que la exponenciación de hecho se distribuye sobre la suma. Es decir:

[matemáticas] \ quad (x + y) ^ n = x ^ n + y ^ n [/ matemáticas]

Se llama sueño porque no es verdad …

La respuesta rápida es que [math] \ sqrt {\ \} [/ math] es un símbolo de agrupación, por lo que hay un paréntesis implícito.

Una respuesta más larga es que es una convención que primero evaluamos la cantidad bajo el radical antes de sacar la raíz. La convención es solo un acuerdo, como conducir por el lado derecho de la carretera: podríamos conducir fácilmente por la izquierda, y en algunos lugares, como Inglaterra, lo hacen. Mientras todos estén de acuerdo, no es un problema.