Bueno, cuando veo una secuencia como esa, primero quiero ver cómo cambia la diferencia y hacer que sea su propia secuencia. En este caso, la diferencia es la siguiente:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …
Nota: De ahora en adelante, la secuencia se referirá a la que acabo de escribir, y la suma se referirá a la secuencia en su pregunta.
Esta es la secuencia clásica de números naturales, por lo que estás viendo la suma de los primeros n números naturales. Ahora, hay dos formas de resolver esto:
Primero, puedes usar las buenas ecuaciones antiguas. Para la suma de una secuencia aritmética (donde el valor cambia por una diferencia constante, en este caso 1), la suma será [matemática] S = (A1 + An) * n / 2 [/ matemática], donde n es el número de términos en la secuencia, A1 es el primer número de la secuencia y An es el enésimo término de la secuencia. Ahora, ¿por qué funciona esto? Bueno, entendemos que cada término cambia por una cierta constante, ¿verdad? Puede ser difícil resumir cada término individualmente, pero dado que el cambio es constante, encontrar el valor promedio de un conjunto de términos es fácil; solo necesitas tomar el promedio del primero y el último. Ojalá tenga sentido por qué. Ahora, esto convertiría su secuencia en algo a lo largo de las líneas de 3, 3, 3, 3 … Donde cada término es el mismo. A partir de esto, ¡encontrar la suma es fácil! Como sabe que tiene n términos que son todos iguales, ¡solo necesita multiplicar el promedio por n! Entonces, tienes el promedio multiplicado por el número de términos, que uno puede ver claramente se convierte en [matemáticas] (A1 + An) * n / 2. [/ Matemáticas]
Puede insertar rápidamente números para esta ecuación y, por lo tanto, [matemática] S = n (n + 1) / 2. [/ matemática] Por lo tanto, hemos encontrado la ecuación.
Sobre el tema de la ecuación, también puedes escribirla de otra manera. Como la secuencia es aritmética, uno sabe que la diferencia siempre será constante, por lo que en el enésimo término, el valor será el primer término más (n-1) multiplicado por el cambio, ya que no incluye el cambio en el primer término. término. Por lo tanto, podría reemplazar An con A1 + d (n-1).
Además, es importante tener en cuenta que la ecuación solo funciona con sumas que comienzan en el primer término. Si desea sumar del término 43 al 65, promedie los términos 43 y 65, y multiplique por el número de términos contenidos en el intervalo que desea sumar. Esto sería 65–43 + 1 = 23 términos.
Segundo, puedes analizar la suma misma. En primer lugar, después de ver que el cambio en los términos tiene un aumento constante, debe ser inmediato reconocer que la suma será parabólica. No entraré en detalles aquí, pero esencialmente una parábola es la única función que tiene una aceleración constante. Ahora, podemos comenzar con una parábola básica, y luego escalarla / rotarla / transformarla hasta obtener la función deseada. Primero: al aumentar x en uno en una función principal para la parábola (y = x ^ 2), y luego una vez más, el aumento en y desde el segundo cambio en x será exactamente 2 mayor que el primer cambio. Podemos observar esto observando los primeros puntos en y = x ^ 2: 0, 1, 4, 9, 16. Encuentre el cambio entre cada uno: 1–0 = 0, 4–1 = 3, 9–4 = 5, 16–9 = 7, por lo que la nueva secuencia es 1, 3, 5, 7. Es fácil ver que el cambio aquí es en 2, por lo que cada aumento en x en 1 hará que el cambio en y aumente en 2. Ahora, podemos verificar si nuestra secuencia es así: 1, 3, 6, 10, 15: 3–1 = 2, 6–3 = 3, 10–6 = 4, 15–10 = 5. Este es un cambio por 1, que es solo la mitad del cambio en dos que deberíamos estar viendo. Para solucionar esto, podemos reducir a la mitad la pendiente, ya que reducir a la mitad la tasa de cambio también reduce a la mitad el cambio en la pendiente. Esto convierte nuestra ecuación en y = x ^ 2/2: 0, 1/2, 2, 9/2, 8: 1 / 2–0 = 1/2, 2–1 / 2 = 3/2, 9/2 –2 = 5/2, 8–9 / 2 = 7/2. Así que ahora, hemos fijado la tasa de cambio de la pendiente, pero la pendiente en sí misma se desplaza 1/2 a nuestra pendiente (agregando n / 2 al gráfico real). Por lo tanto, podemos agregar n / 2 a nuestra ecuación, obteniendo S = (n ^ 2 + n) / 2, que es la misma ecuación que encontramos en el primer método.
No creo que mi explicación sobre el segundo método haya sido tan sólida, ¡así que siéntase libre de comentarlo para cualquier pregunta / sugerencia!