El costo de producir x unidades de bolas viene dado por C (x) = 140 + 0.125x + 0.0005x ^ 2. La función de ingresos es R (x) = 3x. ¿Cuál es el beneficio máximo?

La función de costo es: C (x) = [matemática] 140 + 0.125x + 0.0005x ^ 2 [/ matemática]

La función de ingresos es: R (x) = [matemática] 3x [/ matemática]

La función de ganancia es: P (x) = R (x) – C (x)

= [matemáticas] 3x- (140 + 0.125x + 0.0005x ^ 2) [/ matemáticas]

= [matemáticas] 3x -140–0.125 x – 0.0005 x ^ 2 [/ matemáticas]

P (x) = [matemáticas] 2.875 x – 0.0005 x ^ 2 -140 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dP} {dx} = 2.875 – 0.001 x [/ matemáticas]

Para P máximo o mínimo,

[matemáticas] \ frac {dP} {dx} = 0 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] 2.875 – 0.001 x = 0 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] x = 2875 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 P} {dx ^ 2} = -0.001 <0 [/ matemáticas]

Entonces, P (2875) es máximo

[matemática] P (2875) = 2.875 (2875) – 0.0005 (2875) ^ 2 – 140 [/ matemática]

[matemáticas] P (2875) = 3992.8125 [/ matemáticas]

Es beneficio máximo

P (x) = R (x) —C (x)

P (x) = – 0.0005x² + 2.875x — 140

Esta es una función cuadrática con un máximo porque el término x² tiene un coeficiente negativo.

Para P (x) máximo, P ‘(x) = 0 → —0.001x + 2.875 = 0 → x = 2.875 / 0.001 = 2875

Beneficio máximo = P (2875) = – 0.0005 × 2875² + 2.875 × 2875–140)

= —0.5 × 0.001 × 2875 × 2875 + 2.875 × 2875–140

= —0.5 × 2.875 × 2875 + 2.875 × 2875—140

= —140 + ½ × 2.875² × 1000

= —140 + ½ × (2+ (7/8)) ² × 1000

= —140 + ½ (23/8) ² × 1000

= —140 + ½ × 1000 × (529) / (8 × 8)

= —140 + ½ × {1000 × (66 + 1/8) ÷ 8}

= —140 + ½ × {1000 × (8 + 2/8 + 1/64)}

= —140 + ½ × {8000 + 250 + 1000 × 0.015625}

= —140 + ½ × {8000 + 250 + 15.625}

= —140 + 4,000 + 125 + 7.8125

= 3,985 +7.8125

= 3,992.8125

El beneficio es R (x) – C (x). Este es un cuadrático. Debería ser fácil diferenciar y resolver la ecuación lineal resultante.