¿Cómo puede el área encerrada por la curva [matemática] y = x ^ 2 + x [/ matemática] los límites [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 2 [/ matemática] y el eje y ¿calculado?

No entiendo completamente la formulación de la pregunta.

¿Te refieres a esta área?

(el área blanca)

O el área debajo del gráfico (es decir, integración normal)

Para encontrar el área debajo de la gráfica, necesitas encontrar la integral definida.

Esto es [matemáticas] \ int _0 ^ 2x ^ 2 + x \ dx \ [/ matemáticas]

Cual es:

[matemáticas] \ left [\ frac {1} {3} x ^ 3 + \ frac {1} {2} x ^ 2 \ right] ^ 2- \ left [\ frac {1} {3} x ^ 3 + \ frac {1} {2} x ^ 2 \ right] ^ 0 [/ math]

Que se convierte

[matemáticas] \ left [\ frac {1} {3} \ left (2 \ right) ^ 3 + \ frac {1} {2} \ left (2 \ right) ^ 2 \ right] – \ left [\ frac {1} {3} \ left (0 \ right) ^ 3 + \ frac {1} {2} \ left (0 \ right) ^ 2 \ right] [/ math]

[matemáticas] \ frac {8} {3} + \ frac {4} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {14} {3} [/ matemáticas]

Si esta es el área debajo de la gráfica, para encontrar la otra área, solo necesitamos encontrar el área total encerrada entre [matemática] y <6 [/ matemática] y [matemática] x <2 [/ matemática] que es [matemática ] 2 * 6 = 12 [/ math] y resta el área debajo del gráfico de este

[matemáticas] 12- \ frac {14} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {22} {3} [/ matemáticas]

Espero que esto ayude 🙂 Puede haber un método más fácil para resolver esto, pero esto es lo que pensé rápidamente

Para hacer eso, debe integrar la curva con respecto a y en lugar de x, por lo que primero debe hacer que x sea el sujeto de la ecuación.

[matemáticas] y = x ^ 2 + x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = y + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = \ sqrt {y + \ frac {1} {4}} [/ matemáticas] (La razón por la que se rechaza la raíz negativa es porque el área encerrada cae en el lado positivo del eje x)

[matemáticas] x = \ sqrt {y + \ frac {1} {4}} – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 2 \ sqrt {y + \ frac {1} {4}} – \ frac {1} {2} \, dy [/ math]

[matemáticas] = [\ dfrac {2 (y + \ frac {1} {4}) ^ \ frac {3} {2}} {3} – \ frac {1} {2} x] _0 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2 (\ frac {9} {4}) ^ \ frac {3} {2}} {3} – 1 – \ dfrac {2 (\ frac {1} {4}) ^ \ frac {3} {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2 \ cdot 27} {3 \ cdot 8} – \ dfrac {2} {3 \ cdot 8} – 1 [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {9} {4} – \ dfrac {1} {12} – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {14} {12} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {7} {6} [/ matemáticas]

Primero dibuje la región trazando todas las funciones dadas. Es posible que desee usar completar el cuadrado para que sea más fácil dibujar la curva cuadrática. Resulta que solo necesita el área debajo de la curva cuadrática de x = 0 a x = 2

Tome la integral doble de dA sobre los límites x e y. Como 0

El trabajo está en la foto.

∫ (x ^ 2 + x) dx

= x ^ 3/3 + x ^ 2/2 + C

2 ^ 3/3 + 2 ^ 2/2 – 0 ^ 3/3 + 0 ^ 2/2 = 8/3 + 4/2 = 14/3

área = ∫ydx = ∫ (x² + x) dx [0,2] = [x³ / 3 + x² / 2 (0,2)] = 8/3 + 2 = (14/3) unidad²

Integrar x ^ (2) + x en el intervalo [0,2]