Cómo realizar la integral [matemática] \ int {\ frac {dx} {x \ sqrt {x ^ 4-4}}} [/ matemática]

Answer 1

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x \ sqrt {x ^ 4-4}} \, dx [/ matemáticas]

Tome [matemática] x ^ 4 [/ matemática] común de la raíz inferior …

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x \ sqrt {x ^ 4 \ left (1- \ dfrac {4} {x ^ 4} \ right)}} \, dx [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 3 \ sqrt {1- \ dfrac {4} {x ^ 4}}} \, dx [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 3 \ sqrt {1-4 \ left (\ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) ^ 2}} \, dx [/ math ]

Es hora de una sustitución …

Deje [math] \ dfrac {1} {x ^ 2} = t [/ math]

Tomando derivados de ambos lados …

[matemáticas] – \ dfrac {2} {x ^ 3} dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ 3} dx = – \ dfrac {dt} {2} [/ matemáticas]

Nuestra integral se convierte en …

[matemáticas] I = – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ sqrt {1-4t ^ 2}} \, dt [/ math]

Ahora tome [math] 4 [/ math] common de la raíz inferior …

[matemáticas] I = – \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2 \ sqrt {\ dfrac {1} {4} -t ^ 2}} \, dt [/ math]

[matemáticas] I = – \ dfrac {1} {4} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ sqrt {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2-t ^ 2}} \ , dt [/ math]

Ahora, esa es una integral estándar 😀

[matemáticas] I = – \ dfrac {1} {4} \ sin ^ {- 1} (2t) + C [/ matemáticas]

Ahora conecte [math] t = \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ math]

[matemáticas] I = – \ dfrac {1} {4} \ sin ^ {- 1} \ left (\ dfrac {2} {x ^ 2} \ right) + C [/ math]

¡Resuelto!

Answer 2

Primero usas la sustitución en U.

[matemáticas] \ int _ {} ^ {} \ dfrac {dx} {x \ sqrt {x ^ 4-4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ sqrt {x ^ 4-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] du = \ dfrac {2x ^ 3} {\ sqrt {x ^ 4-4}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int _ {} ^ {} \ dfrac {1} {2x ^ 4} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ sqrt {x ^ 4-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ 2 + 4 = x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int _ {} ^ {} \ dfrac {1} {u ^ 2 + 4} du [/ matemáticas]

A continuación, usa la sustitución v.

[matemáticas] v = \ dfrac {u} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] u = 2v [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = \ dfrac {1} {2} du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int _ {} ^ {} \ dfrac {1} {4v ^ 2 + 4} dv [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2} {8} \ int _ {} ^ {} \ dfrac {1} {v ^ 2 + 1} dv [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {arctan (v)} {4} [/ matemáticas]

Sustituya de nuevo para obtener su variable original:

[matemáticas] = \ dfrac {arctan (\ dfrac {u} {2})} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {arctan (\ dfrac {\ sqrt {x ^ 4-4}} {2})} {4} + C [/ matemáticas]

Answer 3

Sugerencia: [math] [/ math] let [math] f (x) = \ frac {1} {x \ sqrt {x ^ 4–4}} = \ frac {x ^ 3} {x ^ 4 \ sqrt { x ^ 4–4}} [/ math] Ahora haga la sustitución [math] t ^ 2 = x ^ 4–4 [/ math].

Answer 4

Te daré pistas ya que esta es una pregunta de tarea.

Esto parece un ejercicio integral especial. Entonces, en lugar de usar la sustitución trigonométrica, haremos lo siguiente.

Tome [matemáticas] u = x ^ 2 [/ matemáticas]. Llegará a la integral de la forma [math] \ dfrac {1} {x \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} [/ math]. Recordar que

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x \ sqrt {x ^ 2-a ^ 2}} = \ frac {1} {a} \ sec ^ {- 1} \ frac { x} {a} + C [/ matemáticas]

Ahora proceda.

Answer 5

En este tipo de sumas donde se da una variable (de grado 1) en el denominador junto con la misma variable (con potencias más altas) dentro de la raíz cuadrada. El truco que se utilizará es poner (x = 1 / t) y luego integrarlo usando las formas habituales. Hay muchas más formas especiales de sumas de integración. Debes pasar por todos ellos para dominarlos a todos. A continuación se muestra la imagen de la solución para hacerle comprender la forma de resolverlo. Espero que esto ayude.

Answer 6

Mi enfoque de este problema es diferente de los otros que respondieron.

Verifica esto.

Mi respuesta también es diferente de las demás. Así que corrígeme si me equivoco en alguna parte.

Answer 7

Las respuestas de Unnikrishnan Menon y Abishek Shashank, y = -1 / 4arcsin) (2 / x ^ 2) + C, parecen ser correctas para mis cálculos, b / c la derivada de esa respuesta es el integrando en el problema en cuestión . Utilicé un procedimiento que me dio la respuesta que Ashutosh Sahu ha publicado, y también tiene la derivada correcta. Mis esfuerzos siguen, ¡espero que esto sea de alguna utilidad!

Answer 8

Me gustaría usar la sustitución: [matemática] x ^ 2 = 2 \ sec t, 2x \ dx = 2 \ sec t \ tan t \ dt [/ math]

Entonces, ¿cómo puedo manipular la integral para acomodar esto?

[matemáticas] \ int \ frac {x \ dx} {x ^ 2 \ sqrt {x ^ 4–4}} \\ \ int \ frac {\ sec t \ tan t \ dt} {2 \ sec t \ sqrt { 4 \ sec ^ 2 t – 4}} \\ \ int \ frac 14dt = \ frac 14 t + c \\ \ frac 14 \ arccos (\ frac 1 {x ^ 2}) + C [/ math]

Answer 9

Answer 10

🙂

Answer 11

Pon x ^ 2 = t, luego sustituye.

Luego, pon t ^ 2 = u, luego sustituye.

Luego completa los cuadrados e integra.