¿Cómo resuelvo esto? [Matemáticas] \ frac {1} {1 * 3 * 5} + \ frac {1} {3 * 5 * 7} + …… .. + \ frac {1} {99 * 101 * 103} [/ matemáticas]?

Answer 1

Podemos escribir el término general [matemáticas] T (n) = \ dfrac {1} {(2n-1) (2n + 1) (2n + 3)} [/ matemáticas]

Ahora viene la parte principal, veamos que podemos simplificar [matemáticas] T (n) [/ matemáticas] y escribirlo como: –

[matemáticas] T (n) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {(2n-1) (2n + 1)} – \ dfrac {1} {(2n + 1) ( 2n + 3)}} \ right) [/ math]

Simplemente simplifique lo que escribí arriba y verifique si es [matemática] \ dfrac {1} {(2n-1) (2n + 1) (2n + 3)} [/ matemática]

Ahora veamos qué obtuvimos [matemática] T (n) [/ matemática] para diferentes valores de [matemática] n [/ matemática]

[matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] => [matemáticas] T (1) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {1.3} – \ dfrac {1} {3.5}} \ right) [/ math]

[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] => [matemáticas] T (2) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {3.5} – \ dfrac {1} {5.7}} \ right) [/ math]

.

.

.

[matemáticas] n = n [/ matemáticas] => [matemáticas] T (n) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {(2n-1) (2n + 1)} – \ dfrac {1} {(2n + 1) (2n + 3)}} \ right) [/ math]

Ahora [matemáticas] S (n) = \ sum T (i) [/ matemáticas]

[matemáticas] S (n) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {1.3} – \ dfrac {1} {3.5}} \ right) + \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {3.5} – \ dfrac {1} {5.7}} \ right) + ………. + \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {( 2n-1) (2n + 1)} – \ dfrac {1} {(2n + 1) (2n + 3)}} \ right) [/ math]

Ahora vea que si agregamos [math] T (n) ‘s [/ math] como escribí anteriormente, los términos se cancelarán.

Finalmente nos quedaremos con

[matemáticas] S (n) = \ dfrac {1} {4} \ left ({\ dfrac {1} {1.3} – \ dfrac {1} {(2n + 1) (2n + 3)}} \ right) [/matemáticas]

Ahora puede obtener [math] S (n) [/ math] para cualquier valor de [math] n. [/ Math]

Answer 2