¿Cuál es la definición correcta de sin z?

Answer 1

La definición de [math] \ sin z [/ math] es

[matemáticas] \ sin z = \ dfrac {z} {1!} – \ dfrac {z ^ 3} {3!} + \ dfrac {z ^ 5} {5!} – \ dfrac {z ^ 7} {7 !} + \ cdots [/ math]

o, en términos de la función exponencial [math] \ exp (z) [/ math]:

[matemáticas] \ sin z = \ dfrac {1} {2i} (\ exp (iz) – \ exp (-iz)). [/ matemáticas]

Ambas definiciones anteriores son equivalentes.

Por ejemplo,

[matemáticas] \ sin i = \ dfrac {i} {1!} – \ dfrac {i ^ 3} {3!} + \ dfrac {i ^ 5} {5!} – \ dfrac {i ^ 7} {7 !} + \ cdots [/ math]

[matemáticas] \ sin i = i \ left (\ dfrac {1} {1!} + \ dfrac {1} {3!} + \ dfrac {1} {5!} + \ dfrac {1} {7!} + \ cdots \ right) [/ math]

Entonces [math] \ sin i [/ math] es puramente imaginario. Tenga en cuenta que [matemáticas] \ dfrac {1} {1!} + \ Dfrac {1} {3!} + \ Dfrac {1} {5!} + \ Dfrac {1} {7!} + \ Cdots = \ sinh 1 [/ math], donde [math] \ sinh z [/ math] es la función seno hiperbólica definida por

[matemáticas] \ sinh z = \ dfrac {z} {1!} + \ dfrac {z ^ 3} {3!} + \ dfrac {z ^ 5} {5!} + \ dfrac {z ^ 7} {7 !} + \ cdots. [/ math]

Answer 2

A partir de la definición geométrica de [math] \ sin [/ math] (medición de ángulos en radianes), podemos tener la identidad:

[matemáticas] \ begin {align *} \ frac d {dx} \ sin x = \ sin’x & = \ cos x && \ text {and} \\\ cos’x & = – \ sin x \ end {align *} [ /matemáticas]

Hay dos enfoques aquí. Este primer enfoque es mediante el uso de la serie Taylor:

[matemáticas] \ sin z = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ cfrac {a_n} {n!} z ^ n [/ matemáticas]

Dónde

[matemáticas] a_n = (\ frac d {dx}) ^ n \ sin x \ bigr | _ {x = 0} [/ matemáticas]

Esto le da a la serie

[matemáticas] \ sin z = \ cfrac {z} {1!} – \ cfrac {z ^ 3} {3!} + \ cfrac {z ^ 5} {5!} – \ cfrac {z ^ 7} {7 !} + \ cdots [/ math]

El segundo enfoque es a través de la ecuación diferencial: [matemática] f ” (z) = – f (z) [/ matemática].

Podemos comprobar que [math] \ exp’az = a \ exp az [/ math] y [math] \ exp”az = a ^ 2 \ exp az [/ math], donde [math] \ exp [/ matemáticas] es la función exponencial:

[matemáticas] \ exp z = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ Bigl (1+ \ cfrac zn \ Bigr) ^ n [/ math]

Esto da que las soluciones de [matemáticas] f ” (z) = – f (z) [/ matemáticas] están en la forma:

[matemáticas] f (z) = c_1 \ exp iz + c_2 \ exp -iz [/ matemáticas].

Para valores adecuados [matemática] c_1 [/ matemática] y [matemática] c_2 [/ matemática]. Tenemos eso para [matemáticas] f = \ sin [/ matemáticas], luego [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f ‘(0) = 1 [/ matemáticas], por lo tanto:

[matemáticas] \ begin {align *} \ sin0 = c_1 \ exp0 + c_2 \ exp0 = c_1 + c_2 & = 0 \\ \ sin’0 = ic_1 \ exp0-ic_2 \ exp0 = ic_1-ic_2 & = 1 \\ -c_1 + c_2 & = i \\ 2c_2 & = i \\ c_2 & = \ frac {i} 2 \\ c_1 & = – \ frac {i} 2 \ end {align *} [/ math]

Entonces

[matemáticas] \ sin z = \ cfrac {\ exp iz- \ exp-iz} {2i} [/ matemáticas].

Answer 3

Si lo desea, puede definirlo en términos de geometría.

La definición opuesta / hipotenusa funciona para ángulos agudos. Cuando el ángulo se mide en radianes, se puede extender a todos los números reales.

Para números complejos [matemática] z = x + iy [/ matemática], puede definir [matemática] \ sin (x + iy) [/ matemática] como [matemática] \ sin x \ cosh y + i \ cos x \ sinh y [/ math] donde cosh y sinh son el cosh hiperbólico y sinh. Esos pueden definirse en términos de áreas de ciertas regiones definidas por hipérbolas. Ver Función hiperbólica – Wikipedia.

Answer 4

Es la serie:

[matemáticas] sen z = zz ^ 3/3! + z ^ 5/5! -… [/ matemáticas]

Seguramente, uno tiene que demostrar que converge.