Cómo demostrar que [matemática] e ^ x [/ matemática] y [matemática] \ log x [/ matemática] no se pueden expresar en la forma [matemática] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemática], donde [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] son ​​polinomios con coeficientes reales

Answer 1

Tome la derivada de [math] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math]. Esto es

[matemáticas] \ left [\ frac {f (x)} {g (x)} \ right] ^ \ prime = \ frac {f ‘(x) g (x) – f (x) g’ (x)} {g ^ 2 (x)} = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math] como [math] [e ^ x] ^ \ prime = e ^ x [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] f (x) g (x) = f ‘(x) g (x) – f (x) g’ (x) [/ matemáticas], donde el grado del polinomio en el lado izquierdo es mayor que El grado del polinomio en el lado derecho, que no es posible. Debido a esta contradicción [math] e ^ x [/ math] no puede ser de la forma propuesta.

El argumento para [math] \ ln (x) [/ math] es un poco diferente. Deje [math] \ ln (x) = f (x) / g (x) [/ math]. El logaritmo tiene una singularidad solo en [math] x = 0 [/ math]. Entonces [math] g (x) [/ math] tiene que tener una raíz en [math] x = 0 [/ math] con cierta multiplicidad [math] k> 0 [/ math] y sin ningún otro valor real no negativo . Se puede escribir [matemáticas] g (x) = x ^ kh (x) [/ matemáticas], con [matemáticas] h (x) [/ matemáticas] sin raíces reales no negativas. Entonces [math] f (x) / h (x) [/ math] es una función suave para [math] x \ ge 0 [/ math] ya que cada derivada existe y es continua en el dominio real no negativo. Del mismo modo, [math] x ^ k \ ln (x) = f (x) / h (x) [/ math] tiene que ser suave para [math] x \ ge 0 [/ math]. Tomando la derivada de [math] x ^ k \ ln (x) [/ math] se obtiene (usando [math] \ left [\ ln (x) \ right] ^ \ prime = 1 / x [/ math])

[matemáticas] \ left [x ^ k \ ln (x) \ right] ^ \ prime = kx ^ {k-1} \ ln (x) + x ^ {k-1} = x ^ {k-1} ( k \ ln (x) +1) [/ matemáticas]

Entonces [math] x ^ k \ ln (x) [/ math] no puede ser una función fluida para [math] x \ ge 0 [/ math], porque [math] \ ln (x) [/ math] tiene una singularidad en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas].

Answer 2

Aquí hay un enfoque. Tenga en cuenta que para cualquier función racional [matemáticas] \ frac {p (x)} {q (x)} [/ matemáticas], [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} x ^ {- n} \ frac {p (x)} {q (x)} = 0 [/ math] si [math] n [/ math] es un entero lo suficientemente grande. Ahora, solo muestre que [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {e ^ x} {x ^ n} = \ infty [/ math] para cualquier entero positivo [math] n [/ math] (esto es fácil de hacer usando la regla de L’Hopital).

Del mismo modo, puede considerar [math] \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} x ^ n \ log (x) [/ math].

Answer 3

Aquí hay otro enfoque.

Defina el grado de una función racional [matemática] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemática] para que sea el grado de [matemática] f [/ matemática] menos el grado de [matemática] g [ /matemáticas]. Te dejaré que demuestres que el grado de una función racional está bien definido.

Para mostrar que [math] e ^ x [/ math] no es una función racional, utilizaré el hecho de que [math] e ^ {2x} = (e ^ x) ^ 2 [/ math]. Suponga que [math] e ^ x = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math]. Entonces debemos tener [matemáticas] \ frac {f (2x)} {g (2x)} = \ frac {(f (x)) ^ 2} {(g (x)) ^ 2} [/ matemáticas] por el propiedad antes mencionada. Dejar que [matemáticas] m [/ matemáticas] sea el grado de [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] sea el grado de [matemáticas] g, [/ matemáticas] y luego tomar los grados de ambos lados de la ecuación anterior obtenemos [matemática] mn = 2m-2n [/ matemática] o [matemática] m = n [/ matemática]. Sin embargo, si los grados de [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas] son ​​iguales, entonces [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {f (x)} {g (x) } [/ math] converge. Como [math] \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ x [/ math] diverge, llegamos a una contradicción que prueba lo que queríamos.

Usando la propiedad que [math] \ log (x ^ 2) = 2 \ log (x) [/ math], se puede usar un enfoque muy similar para demostrar que [math] \ log (x) [/ math] no es un función racional.

Answer 4

Otro método rápido está disponible si está familiarizado con algunos elementos de la teoría de funciones complejas: if [math] e ^ x = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math] para todos los [ matemática] x [/ matemática], entonces esta igualdad también es válida para valores complejos de la variable, es decir, [matemática] e ^ z = \ frac {f (z)} {g (z)} [/ matemática] para cada complejo [matemáticas] z [/ matemáticas]. Pero [math] e ^ z [/ math] no tiene ceros ni polos, mientras que la función racional debe tener uno o ambos.

Un argumento similar se aplica a [math] \ log (x) [/ math], que como función compleja tiene una singularidad esencial en el origen, mientras que las funciones racionales no.

Answer 5

[matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] se puede expresar como un polinomio.

[matemáticas] e ^ x = \ sum_ \ limits {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]

Es un polinomio de grado infinito, pero es un polinomio, no obstante. Supongo que demuestras que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] no se puede expresar como un polinomio de grado finito, porque los polinomios finitos nunca crecen lo suficientemente rápido.

Answer 6

Si f (x) = g (x) exp (x), calcule la enésima derivada de ambas partes de la ecuación. Hay un número entero suficientemente grande para el cual la parte izquierda de la ecuación es cero, y la parte derecha es una función. Esta ecuación es verdadera para todas las x. Entonces puede, por ejemplo, usar varios valores de x y obtener una contradicción. Por lo tanto, está claro que exp (x) no es f (x) / g (x).