Deje que [matemática] a, b, c [/ matemática] sean las longitudes de los lados de un triángulo. Suponga que ab + ac + bc = 1. Muestre que [matemáticas] (a + 1) (b + 1) (c + 1) <4? [/ Matemáticas]

Answer 1

(Logré encontrar una discusión en línea después de no poder resolverla en bastante tiempo. No encontré ninguna solución, pero una pista me ayudó a encontrar esta solución. Este problema es de un concurso de BMO, según la discusión .)

Primero, deseamos demostrar que [matemáticas] a, b, c <1 [/ matemáticas].

• Suponga que esto es falso. Sin pérdida de generalidad, deje que [math] a \ geq 1 [/ math]. Debido a que [matemática] a, b, c [/ matemática] son ​​longitudes de los lados de un triángulo, entonces [matemática] b + c> a \ geq 1 [/ matemática].

Sin embargo, tenemos [matemáticas] 1 = ab + bc + ca = b + c + bc> 1 + bc> 1 [/ matemáticas], lo cual es falso. Entonces, nuestra suposición es falsa y, por lo tanto, nuestra afirmación es verdadera.

(La siguiente es la pista que encontré).

Debido a nuestro reclamo, podemos decir que [matemáticas] (1-a) (1-b) (1-c)> 0 [/ matemáticas], porque [matemáticas] (1-a) [/ matemáticas], [matemáticas ] (1-b) [/ math] y [math] (1-c) [/ math] son ​​todos positivos.

Pero, [matemáticas] (1-a) (1-b) (1-c) = 1 – a – b – c + ab + bc + ca – abc = 2 – (a + b + c + abc) [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] 2 – (a + b + c + abc)> 0 [/ matemáticas], o [matemáticas] 2> a + b + c + abc [/ matemáticas].

Se deduce que [matemáticas] (a + 1) (b + 1) (c + 1) = abc + ab + bc + ca + a + b + c = abc + a + b + c + 2 <2 + 2 = 4 [/ matemáticas].

Answer 2

Supongo que te refieres a AB + BC + AC = 1, o más bien, a + b + c = 1.

Esta ecuación podría transformarse de la siguiente manera:

(1 + a) + (1 + b) + (1 + c) = 4

Sea (1 + a) = x, (1 + b) = y, y (1 + c) = z.

Por lo tanto, x + y + z = 4, y tenemos que demostrar que xyz <4.

Además, podemos decir con seguridad que x, y, z> 1 ya que a, b, c son lados de un triángulo y deben ser mayores que 0.

Usaré programación lineal para maximizar el valor de xyz. Reescribiendo esto como un LPP:

Maximiza xyz

Sujeto a (restricciones):

x + y + z = 4, x> 1, y> 1 y z> 1

Como estamos tratando con 3 dimensiones, podemos resolver esto esquemáticamente.

x + y + z = 4 es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional, que intersecta los ejes x, y y z a una distancia de 4 desde el origen, y su distancia perpendicular desde el origen es 2 (I No voy a demostrar esto aquí). Puede visualizar esto como una pirámide cuyo origen es el vértice superior y los ejes como los bordes inclinados (no la base).

La línea vertical desde el vértice superior caerá sobre el centroide de la base (que es un triángulo equilátero). Puede demostrar fácilmente que las coordenadas de este centroide son (2 / sqrt (3), 2 / sqrt (3), 2 / sqrt (3)).

El valor máximo de xyz ocurrirá en este centroide (que también satisface todas las ecuaciones de restricción anteriores).

Máx. (Xyz) = [2 / sqrt (3)] * [2 / sqrt (3)] * [2 / sqrt (3)] = 1.54 (aprox.)

Por lo tanto, ¡xyz siempre debe ser inferior a 4!

(Disculpas por no proporcionar el diagrama / símbolos apropiados; soy bastante nuevo en responder preguntas)

Answer 3

Otro enfoque de las respuestas aquí:

Expande la expresión dada:

Obtendrá [matemáticas] abc + 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) = abc + 2 + (a + b + c) [/ matemáticas]

(Dado que se da ab + bc + ca = 1)

Ahora, para que [math] ab + bc + ca = 1 [/ math] se mantenga verdadero, tenga en cuenta que cada uno de los lados debe ser menor que 1 (una restricción adicional es, ya que estamos hablando de lados de un triángulo, todos los números debe ser positivo y satisfacer la desigualdad del triángulo )

Por lo tanto, en la expresión [matemáticas] abc + 2 + (a + b + c): [/ matemáticas]

El término [math] abc [/ math] siempre será <1.

El valor máximo que [math] a + b + c [/ math] puede tomar sería 1.

Por lo tanto, la expresión [math] abc + 2 + (a + b + c) [/ math] puede tomar un valor máximo de [math] abc + 3, donde abc <1. Por lo tanto, (a + 1) (b + 1) (c + 1) <4, [/ math], que es la solución buscada.

Otros enfoques concretos ya han sido escritos.

Answer 4

Para un triángulo [matemático] BC = a, CA = b, AB = c [/ matemático]

y podemos reescribir la condición dada como [matemáticas] a + b + c = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a + b + c + 3 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 4 [/ matemáticas]

Utilizando [math] AM> GM [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {(a + 1) + (b + 1) + (c + 1)} {3}> \ sqrt [3] {(a + 1) (b + 1) (c + 1)} [/matemáticas]

[matemática] \ implica \ izquierda (\ dfrac {4} {3} \ derecha) ^ 3> (a + 1) (b + 1) (c + 1) [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {64} {27}> (a + 1) (b + 1) (c + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + 1) (b + 1) (c + 1) <\ dfrac {64} {27} <4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ en caja {(a + 1) (b + 1) (c + 1) <4} [/ matemáticas]