¿Cuál es el área que encierra el gráfico polar [matemáticas] r = 8 \ cos 3 \ theta [/ matemáticas]?

Answer 1

Para encontrar el área encerrada por

[matemáticas] r = 8 \ cos {(3 \ theta)} [/ matemáticas]

primero queremos esbozar la curva. Porque cuando dibujamos la curva, veremos cuántos pétalos / bucles tenemos en nuestro gráfico. Alerta de spoiler: esta curva tiene tres bucles. Una vez que determinamos que tenemos tres bucles, será fácil encontrar el área de un solo bucle y luego multiplicar ese resultado por [matemática] 3 [/ matemática] para encontrar el área total encerrada por la curva.

La forma más fácil de esbozar la curva siempre es establecer el argumento de la función trigonométrica igual a [math] \ pi / 2 [/ math], luego resolver esa ecuación para [math] \ theta [/ math].

[matemáticas] 3 \ theta = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ frac {\ pi} {6} [/ matemáticas]

Ahora marque [math] \ theta r [/ math] -coordinate ejes en incrementos de [math] \ pi / 6 [/ math], el valor que acabamos de encontrar para [math] \ theta [/ math].

Luego, inserte cada valor a lo largo del eje [math] \ theta [/ math] en la ecuación original.

• Para [matemáticas] \ theta = 0 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] r = 8 \ cos {(3 \ cdot0)} = 8 \ cos {0} = 8 (1) = 8 [/ matemáticas]
• Para [math] \ theta = \ frac {\ pi} {6} [/ math], obtenemos [math] r = 8 \ cos {\ left (3 \ cdot \ frac {\ pi} {6} \ right) } = 8 \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 8 (0) = 0 [/ matemáticas]
• Para [math] \ theta = \ frac {\ pi} {3} [/ math], obtenemos [math] r = 8 \ cos {\ left (3 \ cdot \ frac {\ pi} {3} \ right) } = 8 \ cos {\ pi} = 8 (-1) = – 8 [/ matemáticas]
• Para [math] \ theta = \ frac {\ pi} {2} [/ math], obtenemos [math] r = 8 \ cos {\ left (3 \ cdot \ frac {\ pi} {2} \ right) } = 8 \ cos {\ frac {3 \ pi} {2}} = 8 (0) = 0 [/ matemáticas]

Continúe, por algunos puntos más, luego trace estos puntos en sus ejes.

Los puntos anteriores ahora se traducen en puntos polares en los ejes polares.

• En un ángulo [math] \ theta = 0 [/ math], estarás [math] 8 [/ math] unidades lejos del origen.
• En un ángulo [matemático] \ theta = \ pi / 6 [/ matemático], estará [matemático] 0 [/ matemático] unidades lejos del origen.
• En un ángulo [math] \ theta = \ pi / 3 [/ math], estarás [math] -8 [/ math] unidades lejos del origen.
• En un ángulo [matemático] \ theta = \ pi / 2 [/ matemático], estará [matemático] 0 [/ matemático] unidades lejos del origen.
• etc.

Cuando trazas esto en ejes polares, obtienes

Podemos ver que tenemos tres pétalos, o bucles, en nuestra curva. Queremos encontrar el área de solo uno de ellos, y luego multiplicar nuestro resultado por [matemáticas] 3 [/ matemáticas] para encontrar el área total encerrada por la curva.

Centrémonos en el pétalo que se extiende a horcajadas en la dirección positiva del eje [matemáticas] x [/ matemáticas]. De hecho, dado que ese pétalo se divide perfectamente a la mitad por el eje [matemático] x [/ matemático], es más fácil encontrar el área de solo la mitad superior de ese pétalo (el área arriba del [matemático] x [/ matemático ] -axis), y luego multiplique nuestro resultado por [math] 2 [/ math] para obtener el área total de ese pétalo. O bien, dado que hay un total de seis “medios pétalos” en nuestro gráfico, concentrémonos en el área de ese medio pétalo y luego multipliquemos el resultado por [matemáticas] 6 [/ matemáticas], y estaremos hecho en un solo paso!

Ese medio pétalo, (la parte superior del pétalo que se extiende a horcajadas en la dirección positiva del eje [matemático] x [/ matemático]), se formó / dibujó, mientras dibujábamos la curva entre [matemático] \ theta = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta = \ pi / 6 [/ matemáticas]. Así que esos serán nuestros límites de integración para esta área.

La fórmula para el área polar es

[matemáticas] A = \ int_ \ alpha ^ \ beta \ frac12 r ^ 2 \ d \ theta [/ matemáticas]

Recuerde, debemos multiplicar el área que vamos a encontrar por [matemáticas] 6 [/ matemáticas] para obtener el área total, por lo que cambiaremos nuestra fórmula a

[matemáticas] A = 6 \ int_ \ alpha ^ \ beta \ frac12 r ^ 2 \ d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 3 \ int_ \ alpha ^ \ beta r ^ 2 \ d \ theta [/ matemáticas]

Al conectar nuestros límites de integración y la función original [matemáticas] r [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] A = 3 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ left [8 \ cos {(3 \ theta)} \ right] ^ 2 \ d \ theta [/ math]

[matemáticas] A = 3 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} 64 \ cos ^ 2 {(3 \ theta)} \ d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 192 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ cos ^ 2 {(3 \ theta)} \ d \ theta [/ matemáticas]

Usando la identidad trigonométrica

[matemáticas] \ cos ^ 2 {x} = \ frac12 (1+ \ cos {(2x)}) [/ matemáticas]

podemos simplificar nuestro integrando a

[matemáticas] A = 192 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ frac12 \ left [1+ \ cos {(2 (3 \ theta))} \ right] \ d \ theta [/ math]

[matemáticas] A = 192 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ frac12 \ left [1+ \ cos {(6 \ theta)} \ right] \ d \ theta [/ math]

[matemáticas] A = 96 \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} 1+ \ cos {(6 \ theta)} \ d \ theta [/ matemáticas]

Ahora puedes integrarte.

[matemáticas] A = 96 \ left [\ theta + \ frac16 \ sin {(6 \ theta)} \ right] \ Big | _ {0} ^ {\ pi / 6} [/ math]

[matemáticas] A = 96 \ theta + 16 \ sin {(6 \ theta)} \ Big | _ {0} ^ {\ pi / 6} [/ math]

[matemáticas] A = 96 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) +16 \ sin {\ left (6 \ cdot \ frac {\ pi} {6} \ right)} – ​​\ left [96 (0) +16 \ sin {(6 \ cdot0)} \ right] [/ math]

[matemática] A = 16 \ pi + 16 \ sin {\ pi} – \ left [0 + 16 \ sin {(0)} \ right] [/ math]

[matemáticas] A = 16 \ pi + 16 \ sin {\ pi} -16 \ sin {(0)} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 16 \ pi + 16 (0) -16 (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 16 \ pi [/ matemáticas]

Esta es el área encerrada por la curva polar.

Answer 2

[matemáticas] \ cos \ theta [/ matemáticas] tiene un período de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0 \ leq 3 \ theta \ leq 6 \ pi [/ matemáticas]

Y [matemáticas] 0

Dado que es una curva de pétalos [matemática] \ cos [/ matemática], hay bucles [matemática] 3 [/ matemática] debido a la [matemática] 3 \ theta [/ matemática]

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Requerimos [math] \ theta [/ math] cuando [math] r = 0 [/ math] y [math] r = 8 [/ math]

Son

[matemáticas] 8 \ cos 3 \ theta = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos 3 \ theta = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 \ theta = \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ theta = \ dfrac {\ pi} {6} [/ matemáticas]

El más pequeño positivo [matemática] \ theta [/ matemática] que podamos encontrar debería estar bien para el cálculo.

[matemáticas] 8 \ cos 3 \ theta = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ cos 3 \ theta = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 \ theta = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ theta = 0 [/ matemáticas]

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Fórmula para un área polar en [matemáticas] a <\ theta

[matemáticas] A = \ displaystyle \ int_a ^ b \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \, d \ theta \ tag {*} [/ matemáticas]

Solo por razones de claridad, dibujemos la figura.

Mira cuántas partes iguales tenemos, [math] 3 [/ math] loops nos da [math] 6 [/ math] veces el área encerrada dentro de [math] 0 <\ theta <\ dfrac {\ pi} {6} [/matemáticas]

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La integral se escribe como

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {6}} 6 \ cdot \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \, d \ theta [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {6}} 3r ^ 2 \, d \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {6}} 192 \ cos ^ 2 3 \ theta \, d \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {6}} 96 (1+ \ cos 6 \ theta) \, d \ theta [/ math]

[matemática] = 96 \ left (\ theta- \ dfrac {1} {6} \ sin 6 \ theta \ right) \ bigg | _0 ^ {\ frac {\ pi} {6}} [/ math]

[matemáticas] = 96 \ cdot \ dfrac {\ pi} {6} – \ dfrac {1} {6} \ sin \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] = 16 \ pi [/ matemáticas]

Answer 3

Esto suena digno de una generalización. En su lugar, considere el área encerrada por [math] r = a \ cos (b \ theta) [/ math]. Dado que la pregunta se planteó con respecto a las coordenadas polares, supongo que desde entonces se solicitó que se espera cierta familiaridad con las fórmulas polares. Entonces, recuerdo que el área viene dada por [math] \ int {\ frac {1} {2} {r ^ 2} d \ theta} [/ math]. Nos ocuparemos de los límites más tarde. Esta integral equivale a [matemáticas] \ int {\ frac {1} {2} {{\ left ({a \ cos b \ theta} \ right)} ^ 2} d \ theta} = \ frac {{{a ^ 2}}} {2} \ int {{{\ cos} ^ 2} b \ theta d \ theta} [/ math]. Dado que [matemática] \ cos 2x = 2 {\ cos ^ 2} x – 1, [/ matemática], reorganizando, [matemática] {\ cos ^ 2} x = \ frac {{\ cos 2x + 1}} {2 }[/matemáticas]. Entonces la integral se convierte

[matemáticas] \ frac {{{a ^ 2}}} {2} \ int {\ frac {{\ cos 2b \ theta + 1}} {2} d \ theta} = \ frac {{{a ^ 2} }} {8} \ sin 2b \ theta + \ frac {{{a ^ 2}}} {4} \ theta [/ math].

Como este 0 a [matemática] 2 \ pi [/ matemática] traza esta curva dos veces, los límites son de 0 a [matemática] \ pi [/ matemática]. Mientras [math] b [/ math] sea un número entero, la parte pecado de la expresión es 0. Eso significa que [math] b [/ math] no importa.

Entonces, el área requerida es [matemáticas] \ frac {{{a ^ 2}}} {4} \ pi [/ matemáticas]