Cómo encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln \ left (\ frac {k} {n} + \ frac1n \ right) [/ math ]

Answer 1

Este límite está relacionado de alguna manera con la suma de Riemann. Obtendremos el resultado final, a saber [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Si conoce integrales, puede descubrir fácilmente que

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ limits_0 ^ 1 \ ln x \ mbox {d} x = \ left [x (\ ln x-1) \ right] \ bigg | _0 ^ 1 = -1 [/ math]

usando la fórmula de Newton-Leibniz (la antiderivada de [matemáticas] \ ln x [/ matemáticas] es [matemáticas] x \ izquierda (\ ln x -1 \ derecha) [/ matemáticas]. Ahora divida el intervalo unitario en [matemáticas] n [/ math] partes de igual longitud y calcular la suma de Riemann para la función [math] \ ln x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ ln \ left (\ frac {k + 1} {n} \ right) \ cdot \ frac {1} {n} [/ math]

De la definición de integral definida de Riemann, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle -1 = \ int \ limits_0 ^ 1 \ ln x \ mbox {d} x = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ ln \ left (\ frac {k + 1} {n} \ right) \ frac {1} {n} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ ln \ frac {k + 1} {n} \ right) [/ math]

A medida que [math] n [/ math] va al infinito, puedes comprobar que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ ln \ left (\ frac {k + 1} {n} \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ ln \ left (\ frac {k + 1} {n} \ right) [/matemáticas]

Answer 2

Fórmula de Stirling:

[matemáticas] \ ln n! = n \ ln n-n + O (n) [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln \ left (\ dfrac {k} {n} + \ dfrac {1} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1) – \ ln n [/ math]

---

Usando una aproximación

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1) = \ ln \ prod_ {k = 1} ^ n (k + 1) = \ ln (n + 1)! \ aprox (n + 1) \ ln (n + 1) – (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n + 1) [\ ln (n + 1) -1] [/ matemáticas]

Entonces, la expresión dentro de la suma toma la forma

[matemáticas] \ dfrac {n + 1} {n} [\ ln (n + 1) -1] – \ ln n [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {n + 1} {n} + \ dfrac {(n + 1) \ ln (n + 1)} {n} – \ ln n [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) + \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) \ ln (n + 1) – \ ln n [ /matemáticas]

Tomando el límite como [math] n \ to \ infty [/ math],

[matemáticas] = \ displaystyle -1+ \ lim_ {n \ to \ infty} \ ln (n + 1) – \ ln n [/ math]

[math] = \ displaystyle -1+ \ lim_ {n \ to \ infty} \ ln \ left (\ dfrac {n + 1} {n} \ right) [/ math]

[math] = \ displaystyle -1+ \ lim_ {n \ to \ infty} \ ln \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = – 1+ \ ln 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 1 [/ matemáticas]

No sabía cómo hacerlo antes, así que tardé mucho tiempo.

Answer 3

[matemáticas] S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (\ frac {k + 1} {n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1) – \ ln (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1)) [/ matemáticas] [matemáticas] – \ ln (n) [/ matemáticas]

Según el teorema de Stirling, [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1) \ aprox (n + 1) \ ln (n + 1) -n-1 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] S_n \ aprox (1+ \ frac {1} {n}) (\ ln (n + 1) -1) – \ ln (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] S_n \ aprox \ ln (\ frac {n + 1} {n}) – 1 + \ frac {\ ln (n + 1) -1} {n} [/ matemáticas]

Como [math] n \ to \ infty [/ math], [math] S_n \ to -1 [/ math] ya que los otros términos tienden a 0.

Answer 4

Agregando a las interesantes respuestas ya dadas, uno puede encontrar la suma de arbitrarias [matemáticas] n [/ matemáticas] con la ayuda de Mathematica escribiendo el código:

(1 / n) * Suma [Log [k / n + 1 / n], {k, 1, n}]

El resultado o resultado obtenido es:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac1n \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln \ left (\ frac {k} {n} + \ frac1n \ right) = \ frac {\ ln \ left (\ left (\ frac { 1} {n} \ right) ^ n (2) _n \ right)} {n} [/ math]

donde [math] (a) _n [/ math] es el símbolo de Pochhammer:

[matemáticas] \ displaystyle (a) _n = a (a + 1) \ ldots (a + n – 1) = \ frac {\ Gamma (a + n)} {\ Gamma (a)} [/ math]

y [math] \ Gamma (a) [/ math] es la función Gamma.

El resultado de la suma también se puede expresar como:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ ln \ left (\ left (\ frac {1} {n} \ right) ^ n \ Gamma (n + 2) \ right)} {n} [/ math]

El límite se puede calcular escribiendo:

Límite [(1 / n) * Suma [Log [k / n + 1 / n], {k, 1, n}], n -> Infinito]

y el resultado obtenido es:

[matemáticas] \ displaystyle \ color {rojo} {\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln \ left (\ frac {k} {n} + \ frac1n \ right) = -1} [/ matemáticas]

Aquí está la gráfica del resultado de la suma para arbitrarias [matemáticas] n [/ matemáticas] con la parte real en azul y la parte imaginaria en rojo (de Wolfram Alpha):

Se puede ver en la gráfica anterior que cuando [math] n [/ math] va al infinito, la función y su curva representativa se aproximan [math] -1 [/ math].

Answer 5

La suma se puede expresar como 1 / n * ln (n + 1! / N ^ n) que es aproximadamente igual a 1 / n * (ln (sqrt (2pi * (n + 1)) * (n + 1) / e * n) cuando n se acerca al infinito (fórmula de Stirling).

ln (sqrt (2pi * (n + 1)) * (n + 1) ^ (n) * e ^ (- n) / n ^ n) = – n + ln (sqrt (2pi * (n + 1)) * (n + 1) ^ (n)) / n ^ n) = – n + o (n)

Y luego el límite es -1.

Ahora, para comprender intuitivamente por qué este límite es igual a -1:
Echando un vistazo a Ln (n + 1! / N ^ n), vemos que n + 1! / N ^ n va a 0 porque n ^ n se está volviendo más y más grande que n + 1.

Pero, ¿a qué ritmo?

Imagine que a la salida son casi lo mismo:
n + 2! / n + 1! = n + 2 y (n + 1) ^ (n + 1) / n ^ n = (n + 1 / n) ^ n * (n + 1), cuando n se acerca al infinito esto es equivalente a e * (n + 1). Lo que significa que mientras el término superior crece en n + 2, el segundo crece en e * (n + 1), el siguiente paso, el término superior crecerá en un factor de (n + 3) * (n + 2) , y el segundo término crecerá en un factor de e² * (n + 1) * (n + 2), etc.

Y luego, cuando el término superior crecerá en (n + n-1) * … * (n + 2), el segundo término crecerá en e ^ n * (n + 1) * … (n + n-2), y el cociente de estas dos cantidades cuando n se aproxima al infinito es equivalente a e ^ (n), y luego el límite cuando n es suficientemente grande es 1 / n * ln (e ^ (- n)) = – n / n = – 1)

Answer 6

Primero, simplifiquemos un poco las cosas.

Tenga en cuenta que el término dentro de la función logarítmica tiene un factor compartido de [math] \ frac {1} {n} [/ math]. Eso significa que podemos escribir esto como [math] \ ln (k + 1) -ln (n) [/ math]. Ahora podemos reescribir todo como:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ left (\ ln (k + 1) – \ ln (n) \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ dfrac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ ln (k + 1) \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ dfrac {1} {n} \ ln \ left (\ prod_ {k = 1} ^ n (k + 1) \ right) \ right) [/ math]

[matemática] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ dfrac {1} {n} \ ln ((n + 1)!) \ right) [/ math]

Ahora, podemos usar la aproximación de Stirling y obtenemos:

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln (n) + \ dfrac {1} {n} \ left ((n + 1) \ ln (n + 1) – n + O (\ ln (n)) \ right) \ right) [/ math]

Reorganizando un poco las cosas:

[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ ln \ left (\ dfrac {n + 1} {n} \ right) + \ dfrac {\ ln (n + 1)} {n} – 1 + \ dfrac {O (\ ln (n))} {n} \ right) [/ math]

Podemos ver que el primer término converge a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], el segundo término converge a [matemáticas] 0 [/ matemáticas], el tercer término permanece y el término final desaparece también. El resultado final es [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Mirando un gráfico (ver Calculadora gráfica Desmos) podemos verificarlo fácilmente.

Answer 7

Este es el límite de las sumas de Riemann que se aproximan al área bajo la función [matemática] x \ rightarrow \ ln (x) [/ matemática] en el intervalo [matemática] (0,1] [/ matemática]. matemática] 0 [/ matemática] el límite es, por lo tanto, la integral [matemática] \ int_0 ^ 1 \ ln (x) dx = -1. [/ matemática]

Answer 8

Se evalúa a cero. Observe el 1 / n en el exterior … el límite de eso cuando n se aproxima a cero es igual a cero, y luego lo multiplica por la suma infinita. No importa cuál sea esa suma, llamémosla “S”, 0 veces S, siempre será cero, no importa cuál sea S.