Wow, esto es complicado, porque es difícil precisar qué significa “[math] y = (-1) ^ x [/ math]” para entradas de exponente real general. Sabemos que con valores enteros de [math] x [/ math], es fácil, pero ¿qué pasa con los no enteros?
Considere los números racionales: podríamos querer decir [matemáticas] (- 1) ^ {1/3} = -1 [/ matemáticas], pero incluso podemos obtener números imaginarios también – [matemáticas] (- 1) ^ {1/2} = i [/ matemáticas]. Para los números racionales generales [matemática] p / q [/ matemática] en términos más bajos, vemos que si [matemática] q [/ matemática] es par, debe ser compleja, mientras que es [matemática] q [/ matemática] es impar , será -1 o 1 dependiendo de la paridad de [math] p [/ math]. Para entradas irracionales, siempre será complejo.
Y, de hecho, cuando consideramos valores complejos, se vuelve más grave: hay varios valores posibles. Por ejemplo, [math] (- 1) ^ {1/2} [/ math] también se puede tomar como [math] -i [/ math].
Si graficamos solo los puntos donde tiene un valor real, y ninguno de los valores complejos, veríamos una gráfica que se parece a dos “líneas” en [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = – 1 [/ math] – donde uso comillas de miedo por una muy buena razón: estas “líneas” son en realidad polvos de puntos acribillados con un número infinito de pequeños agujeros, de modo que incluso entre ellos no todos los puntos en [math] x Los ejes [/ math] están agotados. Esto es horriblemente discontinuo, seguramente debe haber algo mejor, ¿verdad? Es esto lo mejor que podemos hacer?
En realidad, no realmente. La forma correcta y unificadora de verlo es considerarla una función de valor complejo ambiguamente definida de una variable real [matemática] x [/ matemática], de modo que [matemática] (- 1) ^ x = e ^ {x \ log (-1)} [/ math], donde la parte ambigua es el valor de [math] \ log (-1) [/ math], que puede ser igual a cualquier número de la forma [math] (2n + 1) \ pi i [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math]. Para trazar una función tan compleja de una variable real, necesitamos 3 dimensiones, y [math] y = e ^ {x \ log (-1)} = e ^ {(2n + 1) pi ix} [/ math ] se expande a [math] y = \ cos ((2n + 1) \ pi x) + i \ sin ((2n + 1) \ pi x) [/ math], que traza una hélice con un tono determinado por lo ambiguo número [matemáticas] n [/ matemáticas]. Hay una hélice para cada [matemática] n [/ matemática], y el signo de [matemática] 2n + 1 [/ matemática] determina la mano, es decir, si se atornilla como un tornillo de rosca izquierda o derecha.
El gráfico final y más honesto podría considerarse como la superposición de todas estas hélices, infinitas de ellas, densamente, pero no del todo, cubriendo la superficie del cilindro [math] \ mathrm {Re} (y) ^ 2 + \ mathrm {Im} (y) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Desafortunadamente, no tengo un programa de gráficos, pero de todos modos no serviría de nada: los espacios son infinitamente finos y no se pueden dibujar, al igual que los agujeros en las líneas que mencioné anteriormente. Pero la analogía más cercana de la vida real es pensar en un carrete de hilo con todo tipo de hilos diferentes envueltos alrededor de él, pero dejando algunos huecos donde se muestra el carrete desnudo.
Si vamos a insistir en un solo valor para hacer una función definida inequívocamente, la convención habitual es tomar [math] n = 0 [/ math] para que [math] \ log (-1) = i \ pi [/ matemática], y luego el gráfico es una hélice única y derecha (como un tornillo de la derecha, es decir, un tornillo común, pero infinitamente largo) de paso 2 y radio 1, que se extiende a lo largo de [matemáticas] x [/ matemáticas] -eje.