Observa eso
[matemáticas] N = 19 ^ {88} -1 = (19 ^ {44} +1) (19 ^ {44} -1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (19 ^ {44} +1) (19 ^ {22} +1) (19 ^ {22} -1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (19 ^ {44} +1) (19 ^ {22} +1) (19 ^ {11} +1) (19 ^ {11} -1) [/ matemáticas]
- ¿Qué cosas debo hacer para convertirme en actuario?
- En una desigualdad cuadrática, ¿por qué el discriminante siempre es menor que 0?
- ¿Cuáles son los números complejos tales que z ^ 4 = -4 usando la forma exponencial y expresando las respuestas en la forma z = a + bi?
- ¿Por qué el mayor divisor común entre dos polinomios no está definido en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math]?
- ¿Qué es [math] \ int_0 ^ \ infty \ sin x \, dx [/ math]?
[matemáticas] = (19 ^ {44} +1) (19 ^ {22} +1) (19 ^ {11} +1) (19-1) (19 ^ {10} + 19 ^ 9 + 19 ^ 8 + \ cdots + 19 + 1) [/ math]
[matemáticas] = 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot (19 ^ {44} +1) (19 ^ {22} +1) (19 ^ {11} +1) n [/ matemáticas],
donde [matemáticas] n = 19 ^ {10} + 19 ^ 9 + 19 ^ 8 + \ cdots + 19 + 1 [/ matemáticas].
Como [math] 19 \ equiv 1 \ pmod {3} [/ math], [math] 3 [/ math] no divide ninguno de [math] 19 ^ {44} +1 [/ math], [math] 19 ^ {22} +1 [/ matemáticas], [matemáticas] 19 ^ {11} +1 [/ matemáticas], [matemáticas] n [/ matemáticas].
Como [math] 19 \ equiv 1 \ pmod {2} [/ math], [math] 2 [/ math] no divide [math] n [/ math] (hay un número impar de términos impares que se suman a [matemáticas] n [/ matemáticas]).
Recuerde que [math] (a + 1) \ mid (a ^ m + 1) [/ math] siempre que [math] m [/ math] es un entero positivo impar ; de hecho,
[matemáticas] a ^ m + 1 = (a + 1) (a ^ {m-1} -a ^ {m-2} + a ^ {m-3} -a ^ {m-4} + \ cdots- a + 1) [/ matemáticas].
Por lo tanto,
[matemáticas] 19 ^ {44} +1 = (19 ^ 4 + 1) (19 ^ {40} -19 ^ {36} + 19 ^ {32} + \ cdots-19 ^ 4 + 1), [/ matemáticas ]
[matemáticas] 19 ^ {22} +1 = (19 ^ 2 + 1) (19 ^ {20} -19 ^ {18} + 19 ^ {16} + \ cdots-19 ^ 2 + 1), [/ matemáticas ]
[matemáticas] 19 ^ {11} +1 = (19 + 1) (19 ^ {10} -19 ^ 9 + 19 ^ 8 + \ cdots-19 + 1) [/ matemáticas].
Hay un número impar de términos impares en los segundos factores de [matemáticas] 19 ^ {44} +1 [/ matemáticas], [matemáticas] 19 ^ {22} +1 [/ matemáticas], [matemáticas] 19 ^ {11 } +1 [/ matemáticas]. Entonces, el poder más alto de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] (19 ^ {44} +1) (19 ^ {22} +1) (19 ^ {11} +1) [/ matemáticas] es el igual que la potencia más alta de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] (19 ^ 4 + 1) (19 ^ 2 + 1) (19 + 1) [/ matemáticas].
Como [math] 19 \ equiv -1 \ pmod {4} [/ math], tanto [math] 19 ^ 4 + 1 [/ math] como [math] 19 ^ 2 + 1 [/ math] son congruentes con [math ] 2 [/ matemáticas] módulo [matemáticas] 4 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la potencia más alta de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] en [matemáticas] (19 ^ 4 + 1) (19 ^ 2 + 1) (19 + 1) [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 1 + 1 + 2 = 4 [/ matemáticas].
Poniendo todo esto juntos, tenemos
[matemáticas] N = 2 ^ 5 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot m [/ matemáticas],
donde [matemáticas] \ mcd (m, 6) = 1 [/ matemáticas].
Por lo tanto, la suma de todos los divisores de [matemática] N [/ matemática] de la forma [matemática] 2 ^ a \ cdot 3 ^ b [/ matemática] es igual a la suma de todos los divisores de [matemática] 2 ^ 5 \ cdot 3 ^ 2 [/ math] ([math] 1 [/ math] está incluido en este conjunto, ya que podemos elegir [math] a = 0 [/ math] y [math] b = 0 [/ math]):
[matemáticas] (1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5) (1 + 3 + 3 ^ 2) = 13 (2 ^ 6–1) = 819 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]