En una desigualdad cuadrática, ¿por qué el discriminante siempre es menor que 0?

Answer 1

Una forma breve de verlo que evita la verborrea es que:

Si la función cuadrática siempre es mayor que cero, eso significa que, cuando se grafica en un sistema de coordenadas, la función nunca se cruza con el eje X. Eso significa que la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Entonces, las dos cosas son que:

en [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c> 0 [/ matemáticas],

a> 0 y [matemáticas] b ^ 2 – 4ac <0 [/ matemáticas].

Sin embargo, si [math] ax ^ 2 + bx + c <0 [/ math], para todos x \ en el dominio,

entonces, a <0 y [matemáticas] b ^ 2 – 4ac <0 [/ matemáticas].

Otra forma (más complicada) de verlo es que,

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c> 0 [/ matemáticas],

o, [matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a}> 0 [/ matemáticas], [Dado que a> 0, el signo de desigualdad no cambia en la división por un .]

o, [matemáticas] x ^ 2 + 2. \ frac {b} {2a}. x + (\ frac {b} {2a}) ^ 2 + \ frac {c} {a} – \ frac {b} {(2a) ^ 2}> 0 [/ matemáticas],

o, [matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + \ frac {c} {a} – \ frac {b} {(2a) ^ 2}> 0 [/ matemáticas]

Ahora el LHS de la desigualdad anterior es siempre más que,

[matemática] 0 + \ frac {4ac – b ^ 2} {4a ^ 2}> 0 [/ matemática], [Dado que un término cuadrado siempre es mayor o igual que cero.]

Entonces, [matemática] b ^ 2 – 4ac <0 [/ matemática], que es el numerador de la desigualdad anterior.

PD: La mejor manera de entender esto es dibujando gráficos de las parábolas que representan las funciones cuadráticas. Pero no tengo una herramienta de gráficos conmigo en este momento.

Answer 2

Considere una gráfica de y = ax ^ 2 + bx + c> 0 esto indica que la gráfica siempre toma un valor positivo, considere que esta gráfica tiene raíces reales x1 y x2, si la gráfica tiene raíz real, esto implica que la gráfica corta el eje x .

Ahora, si dibuja dicha gráfica donde la gráfica corta el eje x, entonces se dará cuenta de que la gráfica está cambiando su signo de positivo a negativo y luego permanece en algún momento en negativo y nuevamente se vuelve positivo, pero dejamos en claro que la gráfica solo debe tomar valores positivos, por lo tanto, la existencia de 2 raíces reales distintas no es posible.

las raíces de cualquier quad están dadas por (-b + _root (d)) / 2a;

por lo tanto, si pongo el valor de d tal que la expresión me da una solución imaginaria, entonces obtengo la solución deseada.

por lo tanto, discriminante <= 0 me dará una solución imaginaria .;

la igualdad me dará un valor único donde el gráfico se convierte en 0;

Espero que hayas entendido lo que intenté expresar.

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Answer 3

Para cualquier ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c> 0 si a es mayor que 0, entonces esto significa que la cuadrática siempre estará por encima del eje x y nunca se intersecará en ningún valor real de x. Así las soluciones a estas ecuaciones serán ser imaginario … así que aquí b ^ 2–4ac <0 para que las raíces sean imaginarias y esta desigualdad se cumpla para todos los valores de x

Por otro lado, para un eje de desigualdad ^ 2 + bx + c <0 para a <0, la expresión siempre estará debajo del eje x ... de manera similar, las soluciones serán imaginarias y, por lo tanto, d será menor que 0 para la expresión

Answer 4

Se ha visto en § Grados bajos que el signo del discriminante proporciona una información completa sobre la naturaleza de las raíces para polinomios de grado 2 y 3. Para grados superiores, la información proporcionada por el discriminante es menos completa, pero sigue siendo útil. Más precisamente, para un polinomio de grado n , uno tiene:

Si el discriminante es negativo, el número de raíces no reales no es múltiplo de 4. Es decir, hay un número entero no negativo k ≤ ( n – 2) / 4, de modo que hay 2 k + 1 pares de raíces conjugadas complejas y n – 4 k + 2 raíces reales.