¿Qué es [math] \ int_0 ^ \ infty \ sin x \, dx [/ math]?

Answer 1

La integral no existe.

Una integral definida donde uno de los límites de integración es infinito (o infinito negativo), y en algunos otros casos no importantes aquí, es realmente un límite: [matemáticas] \ int_a ^ \ infty f (x) dx = \ lim_ { b \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) dx [/ math]. Si [math] F ‘(x) = f (x) [/ math], entonces eso se convierte en [math] \ lim_ {b \ to \ infty} \ int_a ^ b F’ (x) dx = \ lim_ {b \ to \ infty} F (x) | ^ b_a = (\ lim_ {b \ to \ infty} F (b)) – F (a) [/ math]

En este caso, [math] f (x) = \ sin x, F (x) = – \ cos x [/ math], entonces [math] \ int_0 ^ \ infty \ sin x dx = (\ lim_ {b \ to \ infty} – \ cos b) + \ cos 0 = 1- \ lim_ {b \ to \ infty} \ cos b [/ math].

Desafortunadamente, el último límite, del coseno al infinito, no existe. Para cualquier valor de [matemática] N> 0 [/ matemática], puedo encontrar un par [matemática] x, y> N [/ matemática] tal que [matemática] \ cos x = 1, \ cos y = -1 [ / math], y como tal el coseno no converge en un solo valor.

Answer 2

Si te sientes cómodo con la función delta, entonces

[matemáticas] \ int ^ {\ infty} _ {0} \ cos (xt) dx = \ frac {\ pi} {2} \ delta (t) [/ math]

Answer 3

Dado

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ sin x \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ lim_ {b \ rightarrow \ infty} \ int_ {0} ^ {b} \ sin x \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ lim_ {b \ rightarrow \ infty} \ left [- \ cos x \ right] _ {0} ^ {b} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ lim_ {b \ rightarrow \ infty} \ left (- \ cos b + 1 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 1 – \ lim_ {b \ rightarrow \ infty} \ cos b [/ math]

Como [math] \ cos b [/ math] no tiende a un valor como [math] b \ rightarrow \ infty [/ math], esta integral no existe.

Answer 4

La integral impropia

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ sin x \; dx [/ math]

no converge, porque la parte “incorrecta” de su antiderivada, [math] \ lim_ {x \ to \ infty} – \ cos x, [/ math] no está definida. Salta entre [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática].

Answer 5

Es una integral impropia, no existe, si integra entre [0, a] a> 0 el límite cuando a tiende al infinito no existe

Answer 6

Usando la integración de Abel puede obtener fácilmente el valor, es

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty \ sin x \, dx = 1 [/ matemáticas]

Varias otras técnicas te darán el mismo resultado.