¿Por qué el mayor divisor común entre dos polinomios no está definido en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math]?

Answer 1

El mcd de dos polinomios en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math] está definitivamente definido. La noción de un máximo divisor común (mcd) se define en cualquier anillo, aunque en algunos anillos puede no existir o ser único. Sin embargo, eso no es un problema con [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math].

En términos de propiedades del anillo, el anillo [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math] es un dominio integral (ningún elemento distinto de cero tiene el producto [math] 0 [/ math]), pero no es un dominio euclidiano y ni siquiera es un Dominio Ideal Principal (PID), lo que significa que tiene ideales que no son generados por un solo elemento. Esta puede ser la raíz de la confusión en la pregunta: en un PID, el mcd de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] puede verse como un generador del ideal [matemática] (a , b) [/ math] generado por [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Esto, de hecho, no funciona en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math]: el ideal [math] (2, x) [/ math] no es generado por ningún polinomio.

Pero [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math] es un dominio de factorización único (UFD), que puede ver más fácilmente si considera el anillo más grande [math] \ mathbb {Q} [x] [/ math ] y usando el Lema de Gauss para conectar la factorización sobre los enteros a la factorización sobre los racionales.

Cualquier UFD admite un mcd único para cualquiera de los dos elementos. Por ejemplo, el mcd de los dos polinomios [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] es simplemente [matemática] 1 [/ matemática], aunque (nuevamente) el ideal [matemática] (2, x) [/ math] no es lo mismo que el ideal [math] (1) = \ mathbb {Z} [x] [/ math].