¿Cuáles son los números complejos tales que z ^ 4 = -4 usando la forma exponencial y expresando las respuestas en la forma z = a + bi?

Answer 1

Estamos buscando todas [matemáticas] z [/ matemáticas] que satisfagan [matemáticas] z ^ 4 = -4 [/ matemáticas].

Sea [math] z = a + bi = [/ math] [math] R e ^ {i \ phi} [/ math], con [math] R = | z | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 } [/ math] y [math] \ phi = \ arg z [/ math].

Entonces estamos buscando

[matemáticas] \ displaystyle \ left (R e ^ {i \ phi} \ right) ^ 4 = -4 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff R ^ 4 e ^ {4i \ phi} = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff R ^ 4 \ left (\ cos 4 \ phi + i \ sin 4 \ phi \ right) = -4 [/ math]

La parte imaginaria debe ser 0 (de lo contrario, no podemos obtener un resultado real en el lado derecho), por lo tanto, [math] \ sin 4 \ phi [/ math] debe ser 0, lo que hace que [math] \ cos 4 \ phi = \ pm 1 [/ matemáticas]. Pero también necesitamos [matemáticas] \ cos 4 \ phi = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] R ^ 4 = 4 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] R = \ sqrt 2 [/ matemáticas].

Las únicas soluciones son estas, que se distribuyen simétricamente alrededor del origen del plano complejo:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {array} {ll} z_1 = 1 + i & (R = \ sqrt 2, \ phi = \ frac {\ pi} {4}) \\ z_2 = -1 + i & (R = \ sqrt 2, \ phi = \ frac {3 \ pi} {4}) \\ z_3 = -1-i & (R = \ sqrt 2, \ phi = \ frac {5 \ pi} {4}) \ \ z_4 = 1-i & (R = \ sqrt 2, \ phi = \ frac {7 \ pi} {4}) \ end {array} [/ math]

Si está buscando una solución genérica:

[matemáticas] \ displaystyle z ^ n = -x \ quad (n \ in \ mathbb N_ +, x \ in \ mathbb R, x> 0) [/ math]

Esto proporciona las siguientes soluciones [math] n [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle z_k = \ sqrt [n] {x} \ cdot e ^ {i \ frac {(2k-1) \ pi} {n}} [/ matemáticas] para todas [matemáticas] k \ in \ { 1, \ ldots, n \} [/ math].

Para verificar esto:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (z_k \ right) ^ n = x \ cdot e ^ {i (2k-1) \ pi} = x \ left (\ cos \ left ((2k-1) \ pi \ right) + i \ sin \ left ((2k-1) \ pi \ right) \ right) = x (-1 + 0) = -x [/ math]

Si conecta [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas], obtendrá el mismo resultado que el anterior.

Answer 2

Deje, ω = (-4) ^ (1/4) y z = -4

Ahora, z = -4 = 4 e ^ (iπ) = 4 e ^ i (2πk + π) , k ϵ Z

Entonces, ω = √2 * e ^ i (πk / 2 + π / 4)

para k = 0, 1, 2, 3

ω0 = √2 * e ^ i (π / 4)

ω1 = √2 * e ^ i (3π / 4)

ω2 = √2 * e ^ i (5π / 4)

ω3 = √2 * e ^ i (7π / 4)

Answer 3

Al resolver ecuaciones como esta, siempre prefiero usar la versión directa del teorema de De Moivre de la siguiente manera:

Answer 4

Z ^ 4 significa que está multiplicando el mismo fasor por sí mismo cuatro veces. Pensando en términos de un plano complejo, necesita 45 + 45 + 45 + 45 grados de rotación para aterrizar en 180 grados. La magnitud del fasor debe ser [matemática] 4 ^ {(1/4)} = sqrt (2) [/ matemática]

Por lo tanto, la forma exponencial es:

[matemáticas] sqrt (2) exp (j * pi / 4) [/ matemáticas]

La forma rectangular es:

[matemáticas] 1 + 1j [/ matemáticas] jaja!