Explicaré esto de la manera más simple posible, sin ocultar ninguno de los detalles importantes. Esta respuesta presupone que el lector conoce la definición de algunos conceptos algebraicos básicos, como un campo, un polinomio, un número algebraico, etc.
Primero, tenemos que traducir nuestro problema de términos abstractos y geométricos a una pregunta algebraica más concreta y manejable. En la construcción griega clásica, se nos permite hacer dos construcciones en cualquier paso dado:
- Dibuja una línea entre dos puntos que se han construido previamente.
- Dibuje un círculo con un segmento de línea previamente construido como su radio.
Claramente, el paso en el que debemos enfocarnos es el segundo paso. Cualquier punto nuevo que construiremos utilizando este método provendrá de la intersección de círculos, la intersección de líneas o la intersección de una línea y un círculo. Lo dejo como un ejercicio para el lector para mostrar que las coordenadas de cualquiera de estos puntos de intersección pueden expresarse usando raíces cuadradas anidadas y operaciones aritméticas básicas en las coordenadas de los puntos que ya hemos construido. Haremos esto preciso con nuestra próxima definición:
Definición. Una extensión de campo de un campo dado [matemática] K [/ matemática] es un campo más grande [matemática] L [/ matemática] tal que [matemática] K [/ matemática] está contenida como un subcampo de [matemática] L [/ matemática] ] Denotamos dicha extensión por [math] L / K [/ math].
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Lo que nos interesa es ver si cierto número se encuentra en un tipo específico de extensión de campo de [math] \ mathbf Q [/ math], los números racionales. Afortunadamente, tenemos una manera fácil de construir tales extensiones de campo: dado un número algebraico [matemático] \ alpha [/ matemático] sobre un campo [matemático] K [/ matemático] (en un cierre algebraico fijo), podemos considerar lo siguiente estructura:
[matemáticas] K (\ alpha) = \ {P (\ alpha): P \ en K [X] \} [/ matemáticas]
(Aquí, [matemática] K [X] [/ matemática] denota el anillo de polinomios en la [matemática] X [/ matemática] indeterminada con coeficientes en [matemática] K [/ matemática].) Esta estructura es obviamente un anillo, pero es un campo? Resulta que la respuesta es sí, ya que el inverso multiplicativo de cualquier número algebraico distinto de cero puede expresarse como una función polinómica de ese número. También es claramente la extensión de campo más pequeña de [math] K [/ math] que contiene [math] \ alpha [/ math]. Denotamos esta estructura por [math] K (\ alpha) [/ math]. Ahora, podemos reformular nuestra declaración original: para cualquier número constructivo [matemático] x [/ matemático], hay campos [matemático] L_k [/ matemático], [matemático] 0 \ leq k \ leq n [/ matemático], definido recursivamente de la siguiente manera:
[matemáticas] L_0 = \ mathbf Q [/ matemáticas]
[matemáticas] L_ {k + 1} = L_k (\ sqrt {d_k}) [/ matemáticas]
donde [math] d_k [/ math] es un elemento que no es un cuadrado perfecto en [math] L_k [/ math] y [math] x \ en L_n [/ math]. Nuestro objetivo es mostrar que esto no puede ocurrir cuando [math] x [/ math] es la raíz de una quintic irreducible.
Sin embargo, el problema parece insoluble, ya que no sabemos casi nada sobre el campo [math] L_n [/ math], y ni siquiera hay un límite superior en lo que puede ser [math] n [/ math].
En situaciones como estas, un truco común en matemáticas es tratar de asociar objetos más simples a los objetos más complicados con los que se enfrentan. Esto inevitablemente significa que perdemos cierta información, pero esta pérdida puede ayudarnos a ver lo que necesitamos de manera más fácil y clara. Nuestro truco aquí será asociar un número cardinal a cada extensión de campo [matemática] L / K [/ matemática], que codificará algunos datos sobre la extensión en cuestión. Hacemos esto de una manera muy natural:
Definición. El grado de una extensión de campo [matemática] L / K [/ matemática] es la dimensión de [matemática] L [/ matemática] como un espacio vectorial [matemático] K [/ matemático].
Podemos pensar en el grado como una medida de cuán grande es una extensión de campo, pero veremos que codifica más datos que eso. Tratar con cardenales arbitrarios es difícil, por lo que esperamos poder restringir el dominio del discurso solo a números naturales, y de hecho podemos hacerlo en nuestro caso: si [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] algebraico sobre un campo [matemáticas] K [ / matemática], hay un polinomio [matemática] P (X) [/ matemática] con coeficientes en [matemática] K [/ matemática] tal que [matemática] P (\ alpha) = 0 [/ matemática]. Dejando [math] \ deg P = n [/ math], podemos expresar inductivamente cada poder [math] \ alpha ^ k [/ math] para [math] k \ geq n [/ math] en términos de poderes más pequeños, entonces el conjunto [math] \ {1, \ alpha, \ alpha ^ 2, \ ldots, \ alpha ^ {n-1} \} [/ math] es un conjunto que abarca el vector [math] K [/ math] espacio [matemáticas] K (\ alpha) [/ matemáticas]. Por lo tanto, el espacio vectorial tiene un conjunto de extensión finita, lo que implica (por álgebra lineal elemental):
Resultado. El grado [matemáticas] [K (\ alpha): K] [/ matemáticas] es finito si y solo si [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] es algebraico sobre [matemáticas] K [/ matemáticas].
Hemos demostrado que el grado es finito, pero ¿cómo podemos calcularlo realmente? Un pequeño pensamiento muestra que el conjunto máximo linealmente independiente de la forma [matemática] \ {1, \ alpha, \ alpha ^ 2, \ ldots, \ alpha ^ {j-1} \} [/ math] es un [math] K [/ math] -basis de [math] K (\ alpha) [/ math]. Como [math] \ alpha ^ j [/ math] está en el tramo lineal de este conjunto, encontramos que existe un único polinomio distinto de cero (el coeficiente principal es [math] 1 [/ math]) de menor grado ([ math] j [/ math]) que tiene [math] \ alpha [/ math] como raíz. (Claramente, su grado es la cardinalidad de la base, y por lo tanto es el grado de la extensión; esto motiva el nombre “grado”). Le damos a este polinomio un nombre especial: es el polinomio mínimo de [matemáticas] \ alpha [ /matemáticas].
Está claro que un polinomio mínimo debe ser irreducible, por lo que esperamos probar un resultado inverso: ¿es cada polinomio irreducible el polinomio mínimo de todas sus raíces? La respuesta es sí, y se basará en el siguiente lema:
Lema Deje que [math] \ alpha [/ math] sea un número algebraico, y deje que [math] P (X) [/ math] sea su polinomio mínimo. Un polinomio [matemático] Q (X) [/ matemático] con coeficientes en [matemático] K [/ matemático] satisface [matemático] Q (\ alpha) = 0 [/ matemático] si y solo si [matemático] P (X) [/ math] divide [math] Q (X) [/ math].
La prueba es muy fácil: use la división larga polinómica para escribir [matemática] Q (X) = P (X) T (X) + R (X) [/ matemática], con [matemática] \ deg R <\ deg P [ /matemáticas]. Claramente [math] R (\ alpha) = 0 [/ math], pero tiene un grado menor que el polinomio mínimo, por lo que en realidad debe ser el polinomio cero. La dirección inversa es obvia.
Ahora, la afirmación anterior es clara: si [matemática] P (X) [/ matemática] es irreducible y [matemática] \ alpha [/ matemática] es una raíz, entonces el polinomio mínimo de [matemática] \ alfa [/ matemática] debe dividir [matemáticas] P (X) [/ matemáticas]. Sin embargo, dado que este polinomio es irreducible, sus únicos divisores son las constantes y en sí mismo. Como un polinomio mínimo no puede ser constante, se deduce que el polinomio mínimo es [matemático] P (X) [/ matemático] en sí mismo.
Pasamos ahora al caso que nos interesa, con [math] \ alpha [/ math] siendo la raíz de una quintic irreducible, y [math] K = \ mathbf Q [/ math]. Nuestros resultados anteriores han calculado el grado [matemática] [K (\ alpha): K] [/ matemática] para nosotros: es el grado del polinomio mínimo, que es nuestra quintic irreductible: el grado es igual a [matemática] 5 [/matemáticas]. Para poner el último clavo en el ataúd, demostramos un resultado increíblemente poderoso sobre el grado de campo.
Teorema. Deje que [math] K \ subset L \ subset M [/ math] sean campos. Entonces, hay una igualdad de grados
[matemáticas] [M: K] = [M: L] [L: K] [/ matemáticas]
Prueba. En aras de la brevedad, solo esbozaré la prueba y dejaré los detalles al lector. Elija una base [matemática] K [/ matemática] de [matemática] L [/ matemática], digamos [matemática] \ alpha_i [/ matemática], [matemática] 1 \ leq i \ leq n [/ matemática]; y del mismo modo, elija una base [matemática] L [/ matemática] de [matemática] M [/ matemática], [matemática] \ beta_j [/ matemática], [matemática] 1 \ leq j \ leq m [/ matemática]. Se puede demostrar que [math] \ alpha_i \ beta_j [/ math] forma una base de [math] M / K [/ math]. Este conjunto tiene cardinalidad [math] mn [/ math], por lo que hemos terminado.
Calculamos el grado de [math] L_n / \ mathbf Q [/ math] usando este resultado. Es igual a
[matemáticas] \ displaystyle [L_n: \ mathbf Q] = [L_n: L_0] = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} [L_ {k + 1}: L_k] = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} 2 = 2 ^ n [/ matemáticas]
Finalmente hemos establecido la maquinaria necesaria para la prueba de este resultado, y la prueba es de sorprendente simplicidad: suponga que [math] \ alpha \ en L_n [/ math], entonces hay una torre de campos [math] K \ subconjunto K (\ alpha) \ subconjunto L [/ math]. El resultado anterior nos da una igualdad
[matemáticas] 2 ^ n = [L_n: K] = [L_n: K (\ alpha)] [K (\ alpha): K] = [L_n: K (\ alpha)] \ cdot 5 [/ math]
Pero esto es absurdo! [matemática] 2 ^ n [/ matemática] no es divisible por [matemática] 5 [/ matemática], por lo tanto, tenemos la contradicción deseada. Por lo tanto, [math] x \ notin L_n [/ math] después de todo, y por lo tanto no se puede construir en un número finito de pasos usando una regla y una brújula.