Cómo simplificar [matemáticas] \ sqrt {\ sqrt {5} -12i} [/ matemáticas]

Answer 1

Asumiré que el OP es un autor concienzudo y cuidadoso, y significa

[matemáticas] z = \ sqrt {\ sqrt {5} – 12i} [/ matemáticas]

En realidad, he estado resolviendo este problema durante los últimos 10 minutos y se está volviendo muy complicado. Voy a resolver el problema más fácil

[matemáticas] z = \ sqrt {5 – 12i} [/ matemáticas]

El problema del OP es el mismo, aunque los números son tales que tienes que cargar más raíces cuadradas.

Eso es pedir la raíz cuadrada del número complejo

[matemáticas] w = 5 – 12i [/ matemáticas]

Habrá dos raíces cuadradas, negaciones entre sí. A diferencia de [math] \ sqrt {6} [/ math] o [math] \ sqrt {-2} [/ math] no hay una convención común acerca de cuál produce el signo radical [math] \ sqrt {w} [/ math] . Así que trataremos la raíz cuadrada como dos valores y daremos ambas respuestas a la vez usando [math] \ pm. [/ Math]

Hay al menos tres formas en que puedo pensar para hacer esto: (1) Convertir a coordenadas polares, tomar la raíz cuadrada, convertir de nuevo a rectangular. (2) Escriba [matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas] y transforme [matemáticas] z ^ 2 = w [/ matemáticas] en dos ecuaciones reales. (3) Use las fórmulas trigonométricas de medio ángulo, que dan la respuesta directamente sin resolver nada o, sorprendentemente, convirtiendo a coordenadas polares. Probemos lo último primero.

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A pesar de que comenzamos en coordenadas rectangulares y queremos terminar en coordenadas rectangulares e incluso trabajar en coordenadas rectangulares, debemos pensar en esto en coordenadas polares. [matemáticas] w [/ matemáticas] es un número complejo con algún ángulo. La raíz cuadrada [math] z [/ math] tendrá un ángulo exactamente la mitad de [math] w [/ math] ‘s y una magnitud de la raíz cuadrada de [math] w [/ math]’ s.

Primero, la magnitud es fácil:

[matemáticas] | w | ^ 2 = 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 25+ 144 = 169 [/ matemáticas]

[matemáticas] | w | = \ sqrt {169} = 13 [/ matemáticas]

[matemáticas] | z | = \ sqrt {| w |} = \ sqrt {13} [/ matemáticas]

Para las raíces cuadradas de números complejos hay un truco en el que no necesitamos saber el ángulo para resolverlos. Solo necesitamos conocer el coseno, debido a las fórmulas de medio ángulo. Los he derivado muchas veces, solo los voy a decir aquí:

[matemáticas] \ cos \ dfrac \ theta 2 = \ pm \ sqrt {\ dfrac {\ cos \ theta + 1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ dfrac \ theta 2 = \ pm \ sqrt {\ dfrac {1 – \ cos \ theta} {2}} [/ matemáticas]

[Math] \ pm [/ math] está relacionado con las dos raíces cuadradas, pero terminamos con cuatro combinaciones, de las cuales solo dos serán las raíces cuadradas que buscamos. Sabemos que [matemáticas] w [/ matemáticas] está en el cuarto cuadrante. Su raíz cuadrada en ángulo medio estará en el cuarto o segundo cuadrante, dependiendo de si usamos un ángulo positivo o negativo para dividir por dos. Es mejor elegir uno, decir cuarto, y recordar agregar [math] \ pm [/ math] al final.

El coseno de [math] w [/ math] es solo su coordenada [math] x [/ math] sobre su magnitud:

[matemáticas] \ cos \ angle w = \ dfrac {5} {13} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ cos \ angle z = \ cos \ dfrac {\ angle w} {2} = \ sqrt {\ dfrac {5/13 + 1} {2}} = \ sqrt {9/13} = 3 / \ sqrt {13} [/ math]

[matemáticas] \ sin \ angle z = \ sin \ dfrac {\ angle w} {2} = – \ sqrt {\ dfrac {1 – 5/13} {2}} = – \ sqrt {4/13} = – 2 / \ sqrt {13} [/ matemáticas]

Elijo coseno positivo y seno negativo para mantenerlo en el cuarto cuadrante.

Sabemos [math] z ‘[/ math] s magnitud y seno y coseno, entonces sabemos [math] z [/ math] en coordenadas rectangulares:

[matemáticas] z = | z | (\ cos \ angle z + i \ sin \ angle z) = \ sqrt {13} (3 / \ sqrt {13} – 2i / \ sqrt {13}) = 3-2i [ /matemáticas]

Recordemos poner nuestro [math] \ pm [/ math] para la solución final:

[matemáticas] \ sqrt {5 – 12i} = \ pm (3-2i) [/ matemáticas]

Cheque :

[matemáticas] (\ pm (3 + 2i)) ^ 2 = 3 ^ 2 -2 ^ 2 – 2 (3) 2i = 5 – 12i \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

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¿Qué tal si tratamos [math] z = x + iy [/ math] con [math] x [/ math] y [math] y [/ math] real.

[matemáticas] z ^ 2 = w [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – y ^ 2 + 2xyi = 5 – 12i [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – y ^ 2 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2xy = -12 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -6 / x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – 36 / x ^ 2 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 – 5x ^ 2 – 36 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 – 9) (x ^ 2 + 4) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 2 = 9 [/ matemática] (ignoramos [matemática] x ^ 2 = -4 [/ matemática] porque [matemática] x [/ matemática] es real; solo nos daría la parte imaginaria que ‘ obtendré con [math] y [/ math] de todos modos).

[matemáticas] x = \ pm 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -6 / x = \ mp 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ pm (3 – 2i) \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Eso parecía más fácil que el coseno.

Answer 2

¿A quién no le gustan los números complejos? …… Honestamente, la mayoría de las personas probablemente no hayan oído hablar de ellos antes. A menudo encuentro que los problemas de números complejos tienen este rasgo único. Tienes que igualar las partes reales y las partes imaginarias. Explicaré esto más tarde. Es muy posible que la respuesta sea real, como 3. Pero lo que realmente dice es que la parte imaginaria es 0, por lo que la respuesta real es 3 + 0i.

De vuelta al problema. Reescribamos esta ecuación. A menudo no me gusta el signo de raíz cuadrada. Es algo personal, pero las raíces cuadradas me persiguen. Preferiría que esta ecuación se escribiera como: (5 ^ (1/2) – 12 i) ^ (1/2). ¿Asi que que hacemos? Como señalé anteriormente, la respuesta estará en la forma a + bi. Una parte real a, y una parte imaginaria (b * i) (b es real).

Equipemos esto: (5 ^ (1/2) – 12 i) ^ (1/2) = a + bi

¡Ahora es solo álgebra! Solo recuerda que i ^ 2 = -1

Reorganizar: 5 ^ (1/2) – 12i = (a + bi) ^ 2. Solo cuadré ambos lados.

Expande el lado derecho: a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi = 5 ^ (1/2) – 12i. Es un poco diferente de la expansión normal. Obtiene – b ^ 2 porque (bi) ^ 2 = b ^ 2 * i ^ 2 = -b ^ 2.

Ahora, recuerde que el objetivo es igualar las partes real e imaginaria.

Entonces, a ^ 2 – b ^ 2 = sqrt 5

2ab i = 13i (2ab = 13)

Ahora, tenemos dos fórmulas, con 2 variables, por lo que podemos resolver cada variable.

2ab = 13, ab = 13/2, b = 13 / 2a

Sub en primera ecuación.

a ^ 2 – (13 / 2a) ^ 2 = sqrt 5

a ^ 2 – (13/2) ^ 2 * 1 / a ^ 2 = sqrt 5

a ^ 4 – a ^ 2 * sqrt 5 – 13/2 = 0

a = sqrt positivo y negativo (sqrt 5 – sqrt (5 – 4 * 13/2)) / 2). (Factoraje usé u = a ^ 2, y luego usé la fórmula cuadrática, luego la enraicé. Es bastante complicado).

Este es un ejemplo bastante complicado. Hay otras formas de hacer esta pregunta, pero creo que utiliza las matemáticas más básicas. El teorema de De Moirves puede ser una buena forma de hacerlo.

Answer 3

Deje que [matemáticas] \ sqrt {\ sqrt {5} -12i} = u + iv \ implica \ sqrt {5} -12i = (u + iv) ^ {2} \ implica \ sqrt {5} -12i = u ^ {2} -v ^ {2} + 2iuv [/ matemáticas]. Igualando partes reales e imaginarias, [matemáticas] u ^ {2} -v ^ {2} = \ sqrt {5} [/ matemáticas], [matemáticas] 2uv = -12 \ implica v = – \ frac {6} {u } [/ math] que al sustituir en [math] u ^ {2} -v ^ {2} = \ sqrt {5} [/ math] da [math] u ^ {4} – \ sqrt {5} u ^ {2} -36 [/ matemáticas]. Al elegir [matemáticas] w = u ^ {2} [/ matemáticas], esto se convierte en [matemáticas] w ^ {2} – \ sqrt {5} w-36 = 0 \ implica w = \ frac {\ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2} [/ math] (El signo negativo se rechaza porque [math] w = u ^ {2} [/ math].) [math] \ implica u ^ {2} = \ frac { \ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2} \ implica u = \ pm \ sqrt {\ frac {\ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} [/ math]. Ahora, dado que [matemáticas] u ^ {2} -v ^ {2} = \ sqrt {5}, v ^ {2} = \ frac {- \ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2} [ / math] o [math] v = \ pm \ sqrt {\ frac {- \ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} [/ math]. Los valores posibles de [math] u + iv [/ math] son ​​[math] u = \ sqrt {\ frac {\ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} [/ math], [math] – \ sqrt {\ frac {\ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} [/ math] y [math] v = \ sqrt {\ frac {- \ sqrt {5} + \ sqrt {149 }} {2}} [/ matemática], [matemática] – \ sqrt {\ frac {- \ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} [/ matemática]. Los valores permitidos de [math] u + iv [/ math] son ​​[math] \ pm (\ sqrt {\ frac {\ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}} + i \ sqrt {\ frac {- \ sqrt {5} + \ sqrt {149}} {2}}) [/ math] como se puede verificar mediante la cuadratura.

Answer 4

z = √ (√5 – 12i) = (√5–12i) ^ (1/2)

r = √ (5 + 144) = √149, yx = arco arco (-12 / √5) = 280.5 °

Entonces z = [√149 (cos (280.5 + 2nπ) + isin (280.5 + 2nπ)] ^ (1/2)

Usa el thm de de moivre

z = 149 ^ (1/4) [cos (140.25 + nπ) + i sen (140.25 + nπ)]

Deje n = 0, 1 y obtenga 2 valores para z

n = 0, z = 3.49 (cos 140.25 + i sen 140.25) = -2.686 +2.232 i = w (1)

n = 1, z = 3.49 (cos 320.25 + i sen 320.25) = 2.686 – 2.232 i = w (2)

w (1) + w (2) = 0

Answer 5

Es fácil.

Deje que √ [√5–12i] = a + ib

entonces resolvemos así …

Comentame si encuentras algo mal o quieres alguna aclaración.

Buena suerte..