Cómo resolver x ^ 1/2 – (x-9) ^ 0.75 = -3

Answer 1

[matemáticas] x ^ {0.5} – (x-9) ^ {0.75} = -3 [/ matemáticas]

Deje [math] x ^ {\ frac {1} {2}} – y [/ math]

[matemáticas] y – (y ^ 2–9) ^ {0.75} = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, y + 3 = (y ^ 2 -9) ^ \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

Potenciando 4 en ambos lados,

[matemáticas] y ^ 4 + 12 y ^ 3 + 54 y ^ 2 + 108 y + 81 = (y ^ 2–9) ^ 3 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] y ^ 4 + 12 y ^ 3 + 54 y ^ 2 + 108 y + 81 = y ^ 6 – 27y ^ 4 + 243 y ^ 2 – 729 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, y ^ 6 – 28 y ^ 4 -12 y ^ 3 +189 y ^ 2 -108 y -810 = 0 [/ matemáticas]

Sea f (y) = [matemáticas] y ^ 6 – 28 y ^ 4 -12 y ^ 3 +189 y ^ 2 -108 y -810 [/ matemáticas]

Para y = 5

f (5) = 0

Entonces, (y-5) es la solución.

[matemática] y ^ 6 – 28 y ^ 4 -12 y ^ 3 +189 y ^ 2 -108 y -810 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] y ^ 6 – 5y ^ 5 + 5y ^ 5 -25 y ^ 4 – 3y ^ 4 +15 y ^ 3 -27 y ^ 3 + 135y ^ 2 +54 y ^ 2 -270y + 162y -810 = 0 [/matemáticas]

[matemáticas] y ^ 5 (y-5) + 5y ^ 4 (y-5) – 3y ^ 3 (y-5) – 27y ^ 2 (y-5) + 54y (y-5) +162 (y- 5) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (y-5) (y ^ 5 + 5y ^ 4 -3y ^ 3 -27y ^ 2 + 54y +162) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (y-5) (y + 3) ^ 3 (y ^ 2 -4y + 6) = 0 [/ matemáticas]

Ya sea,

y = 5, -3 para valor real.

pero, y = [matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Entonces, -3 no es posible.

y = 5 es la única solución.

[matemáticas] 5 = \ sqrt {x} [/ matemáticas]

O, x = 25

Answer 2

Cambiando los términos para obtener [matemáticas] 3+ \ sqrt {x} = (x-9) ^ {3/4} [/ matemáticas] y tomando la cuarta potencia de ambos lados, obtenemos una ecuación polinómica de grado 6 en [matemáticas ] \ sqrt {x} [/ math]. Este polinomio es monico, por lo que por el teorema de la raíz racional cualquier raíz racional es un número entero. Por lo tanto, cualquier solución racional [matemáticas] x [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Probemos 16. Es demasiado pequeño: [matemáticas] 3+ \ sqrt {16} = 7 [/ matemáticas], no [matemáticas] 7 ^ {3/4} [/ matemáticas].

Probemos con 25.

Actualización: una solución más ingeniosa es factorizar [math] x-9 [/ math], obteniendo [math] \ sqrt {x} + 3 = \ Bigl ((\ sqrt {x} +3) (\ sqrt {x} – 3) \ Bigr) ^ {3/4} [/ math], que requiere [math] \ sqrt {x} +3 = (\ sqrt {x} -3) ^ 3 [/ math].