¿Por qué [matemáticas] F_n = \ dfrac {{F_ {n + 1}} ^ 2} {F_ {n + 2}} + \ dfrac {1} {F_ {n + 2} (-1) ^ n} [ / math] donde [math] F_n [/ math] es la secuencia de Fibonacci?

Answer 1

De acuerdo con una definición OEIS de la secuencia de Fibonacci A000045:

[matemáticas] F_0 = 0, \; F_1 = 1, \; F_2 = 1 \ tag * {} [/ math]

así que si sustituimos los términos anteriores en la fórmula dada:

[matemáticas] F_0 = \ dfrac {F_1 ^ 2} {F_2} + \ dfrac {1} {(- 1) ^ 0F_2} = \ dfrac {1 ^ 2} {1} + \ dfrac {1} {1} = 2 \ neq 0 \ tag * {} [/ math]

lo que significa que o bien el poder de [matemáticas] (- 1) [/ matemáticas] está desactivado por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o la secuencia de Fibonacci se define como:

[matemáticas] F_0 = 1, \; F_1 = 1, \; F_2 = 2 \ tag * {} [/ math]

Trabajaremos con la definición OEIS:

[matemáticas] F_n = \ dfrac {F_ {n + 1} ^ 2} {F_ {n + 2}} + \ dfrac {1} {(- 1) ^ {n + 1} F_ {n + 2}} \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

Multiplique ambos lados de ( 1 ) por [matemáticas] F_ {n + 2} [/ matemáticas]:

[matemáticas] F_n F_ {n + 2} = F_ {n + 1} ^ 2 + (-1) ^ {n + 1} \ tag {2} [/ matemáticas]

Disminuya el índice de cada término en ( 2 ) por [matemática] 1 [/ matemática] reemplazando [matemática] (n) [/ matemática] con [matemática] (n-1) [/ matemática]:

[matemáticas] F_ {n-1} F_ {n + 1} = F_n ^ 2 + (-1) ^ n \ tag {3} [/ matemáticas]

Reste [math] F_n ^ 2 [/ math] de ambos lados de (3):

[matemáticas] F_ {n-1} F_ {n + 1} – F_n ^ 2 = (-1) ^ n \ tag {4} [/ matemáticas]

Conocida como la identidad de Cassini ( 4 ) tiene una interpretación geométrica interesante y una paradoja asociada a ella.

La paradoja del tablero de ajedrez y la identidad de Cassini se resuelven y prueban en esta publicación.

En resumen, la paradoja afirma que un tablero con regla cuadrada [matemática] 8 \ por 8 [/ matemática] puede cortarse en dos pares de formas congruentes (triángulos rectángulos y trapecios rectos) y volverse a ensamblar en un sólido [matemática] 5 \ veces 13 [/ math] rectángulo y la prueba de ( 4 ) se basa en renumerar los índices en la relación de recurrencia que define la secuencia de Fibonacci.

Answer 2

La ecuación es equivalente a esto: [matemática] F_nF_ {n + 2} = F_ {n + 1} ^ 2 + (-1) ^ n [/ matemática] (que se puede obtener multiplicando ambos lados por [matemática] F_ {n + 2} [/ matemáticas]).

---

Lo demostraremos por inducción.

Para el caso base, [matemática] F_1F_3 = 0 [/ matemática] y [matemática] F_2 ^ 2 + (-1) ^ 1 = 0 [/ matemática] también. Entonces, la ecuación es verdadera cuando [math] n = 1 [/ math].

Para el paso de inducción, suponemos que hay un número entero positivo [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] F_kF_ {k + 2} = F_ {k + 1} ^ 2 + (-1) ^ k [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] 0 = F_kF {k + 2} – F_ {k + 1} ^ 2 – (-1) ^ k [/ matemáticas].

Recuerde que [matemáticas] F_k = F_ {k + 2} – F_ {k + 1} [/ matemáticas]. Sustituyendo, obtenemos [matemáticas] 0 = (F_ {k + 2} ^ 2 – F_ {k + 1} F_ {k + 2}) – F_ {k + 1} ^ 2 – (-1) ^ k [/ matemáticas].

Reordenando y factorizando términos, obtenemos [matemáticas] 0 = F_ {k + 2} ^ 2 – F_ {k + 1} (F_ {k + 2} + F_ {k + 1}) – (-1) ^ k [ /mathfont>.[math] [/ math] Sin embargo, [math] F_ {k + 2} + F_ {k + 1} = F_ {k + 3} [/ math]. Por lo tanto, [matemática] 0 = F_ {k + 2} ^ 2 – F_ {k + 1} F_ {k + 3} – (-1) ^ k [/ matemática].

Reorganizando nuevamente, tenemos [matemáticas] F_ {k + 1} F_ {k + 3} = F_ {k + 2} ^ 2 – (-1) ^ k [/ matemáticas]. Observe que [matemáticas] (- 1) ^ k = (-1) ^ {k + 2} = (-1) (- 1) ^ {k + 1} = – (- 1) ^ {k + 1} [ /matemáticas]. Sustituyendo [math] (- 1) ^ k [/ math] con este valor nos da la ecuación deseada para completar nuestra inducción.

Answer 3

La identidad es equivalente a probar

[matemáticas] F_n F_ {n + 2} – F_ {n + 1} ^ 2 = (-1) ^ n. [/ matemáticas]

Sin embargo, los términos en esta secuencia se obtienen de la secuencia normal de Fibonacci agregando un [math] 0 [/ math] al comienzo de la secuencia. Entonces

[matemáticas] F_n = \ dfrac {{\ alpha} ^ {n-1} – {\ beta} ^ {n-1}} {\ sqrt {5}} [/ matemáticas], [matemáticas] n \ in \ mathbb N [/ matemáticas],

donde [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ beta [/ matemática] satisface [matemática] \ alpha + \ beta = 1, [/ matemática] [matemática] \ alpha \ beta = -1, [/ matemática] [matemáticas] \ alpha> \ beta [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] 5 \ big (F_n F_ {n + 2} – F_ {n + 1} ^ 2 \ big) = \ left ({\ alpha} ^ {n-1} – {\ beta} ^ {n-1 } \ right) \ left ({\ alpha} ^ {n + 1} – {\ beta} ^ {n + 1} \ right) – \ left ({\ alpha} ^ n – {\ beta} ^ n \ right ) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ big (\ alpha \ beta \ big) ^ n – \ big (\ alpha \ beta \ big) ^ {n-1} \ big ({\ alpha} ^ 2 + {\ beta} ^ 2 \ grande) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (-1) ^ n – (-1) ^ {n-1} \ left (\ big (\ alpha + \ beta \ big) ^ 2–2 \ alpha \ beta \ right) [/ math]

[matemáticas] = 2 (-1) ^ n + (-1) ^ n + 2 (-1) ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] = 5 (-1) ^ n [/ matemáticas].

La identidad ahora sigue. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 4

Por definición de la secuencia de Fibonacci [1], uno tiene:

[matemática] F_ {n + 1} = F_ {n} + F_ {n-1} [/ matemática] para cualquier número entero [matemática] n> 1 [/ matemática] con [matemática] F_ {1} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] F_ {2} = 1 [/ matemáticas].

[math] F_ {3} [/ math] es entonces [math] 1 [/ math].

Ahora simplifiquemos [matemáticas] S_ {n}: = F_ {n} F_ {n + 2} -F_ {n + 1} F_ {n + 1} [/ matemáticas] (que es válido para cualquier [matemáticas] n \ geq 1 [/ matemáticas]).

[matemáticas] S_ {n} = F_ {n} (F_ {n + 1} + F_ {n}) – F_ {n + 1} F_ {n + 1} = F_ {n + 1} (F_ {n} -F_ {n + 1}) + F_ {n} F_ {n} = (- 1) (F_ {n} F_ {n + 1} -F_ {n} F_ {n}) = (- 1) S_ { n-1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, por recursión, [matemáticas] S_ {n} = (- 1) ^ {n-1} S_ {1} = (- 1) ^ {n} [/ matemáticas] desde [matemáticas] S_ {1} = F_ {1} F_ {3} -F_ {2} F_ {2} = – 1 [/ matemáticas]

Le dejo al lector encontrar el eslabón perdido entre [math] S_ {n} [/ math] y la identidad esperada.

¡Espero que esto ayude!

Notas al pie

[1] Número de Fibonacci – Wikipedia

Answer 5

Tenga en cuenta que los números de Fibonacci, tal como los define usted, satisfacen

[matemáticas] \ begin {pmatrix} F_ {k + 2} \\ F_ {k + 1} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } F_ {k + 1} \\ F_ {k} \ end {pmatrix} [/ math]

Por lo tanto, tenemos que

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} ^ n = \ begin {pmatrix} F_ {n + 2} & F_ {n + 1} \\ F_ {n + 1} & F_ {n} \ end {pmatrix} [/ math]

Tomando el determinante, tenemos que [matemáticas] F_ {n} F_ {n + 2} -F_ {n + 1} ^ 2 = (- 1) ^ {n}. [/matemáticas]

Entonces, tenemos eso

[matemáticas] F_ {n} F_ {n + 2} -F_ {n + 1} ^ 2 = (- 1) ^ {n} \ iff F_ {n} = \ frac {(- 1) ^ {n} + F_ {n + 1} ^ 2} {F_ {n + 2}} [/ matemáticas]

Simplificando, tenemos el resultado deseado. ¡Hemos terminado!