Si conoce las raíces, de acuerdo con el teorema del factor, tiene [matemática] (xa) (xb) (xc) (xd) [/ matemática] para ser su factorización.
Conocer las raíces es difícil. ¡Estás resolviendo una ecuación cuártica! Función cuártica: Wikipedia te dice lo difícil que es incluso si conoces las técnicas para resolver la ecuación. Así que pasemos a otro método. Este es el método que utilicé.
Alguien puede intentar si algunos valores de x me darán cero, luego aplicar el teorema del factor. Sin embargo, aprovechando el hecho de que la factorización numérica es más fácil que la factorización algebraica, utilizo la factorización numérica sustituyendo algunos valores de x, que probablemente sean 10, ya que será más fácil ver o adivinar la factorización real.
Por ejemplo, tienes
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[matemáticas] f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x + 1 [/ matemáticas]
Si sustituimos x como 10, tendrá 12321. Si es sensible a los números, sabrá de inmediato que es el cuadrado de 111, pero no importa, si desea obtener la factorización prima, todavía no es tan difícil.
[matemáticas] 12321 = 3 ^ 2 \ veces 37 ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces trata de adivinar. Como todos los coeficientes no son demasiado grandes, no es razonable adivinar algunos polinomios con coeficientes grandes de cualquier término.
Si tenemos 9 como uno de los factores, el resto será 1369, o 37 * 37, por lo que, de cualquier manera, aquí tendrá coeficientes grandes.
Entonces te das cuenta de que es el cuadrado de 111, lo que te da la factorización:
[matemáticas] f (x) = (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 [/ matemáticas]