¿Cuál es la forma factorizada de [matemáticas] \ dfrac {3} {4} x ^ 2 + 3x + 5 [/ matemáticas]?

Answer 1

Hmm, interesante, resolví uno similar recientemente.

Entonces, vamos a hacerlo, y supongo que lo está resolviendo usted mismo .

Tenemos [matemática] \ frac {3} {4} x ^ 2 + 3x + 5 [/ matemática], separe la parte [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática], solo para obtener algo como

[matemáticas] \ frac {3} {4} (x ^ 2 + 4x + \ frac {20} {3}) [/ matemáticas]

que debe evaluar a

[matemáticas] \ frac {3} {4} (x ^ 2 + 2 \ cdot 2x + 4 + \ frac {8} {3}) [/ matemáticas]

Ahora tienes un cuadrado perfecto más algo, úsalo como diferencia de cuadrados. Completaré esto pronto.

OK, volviendo a responder

Tienes [matemática] \ frac {3} {4} \ bigg \ {(x + 2) ^ 2 – \ frac {-8} {3} \ bigg \} [/ math]

Entonces definitivamente obtendrás:

[matemáticas] \ frac {3} {4} \ bigg (x + 2 + \ frac {2 \ sqrt {6} i} {3} \ bigg) \ bigg (x + 2 – \ frac {2 \ sqrt {6 } i} {3} \ bigg) [/ math]

Esto es tan fácil de hacer con las matemáticas básicas que la gente hace esto en minutos.

Es el mismo esquema para todo (manténgalo simple y sea el jefe), como ¿Cómo factorizo ​​[matemáticas] x ^ 2 + 4x + 5 [/ matemáticas]?

Answer 2

[matemáticas] \ dfrac {3} {4} x ^ 2 + 3x + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ izquierda (x ^ 2 + 4x + \ dfrac {20} {3} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ izquierda (x ^ 2 + 4x + 4–4 + \ dfrac {20} {3} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ izquierda [(x + 2) ^ 2 + \ dfrac {8} {3} \ derecha] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ left [(x + 2) ^ 2- \ left (- \ dfrac {8} {3} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ left [(x + 2) ^ 2- \ left (\ dfrac {2 \ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} i \ right) ^ 2 \ derecha] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ left [(x + 2) ^ 2- \ left (\ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3} i \ right) ^ 2 \ right] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {3} {4} \ left [\ left (x + 2 + \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3} i \ right) \ left (x + 2- \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3} i \ right) \ right] [/ math]

Esto coincidirá con la respuesta de Howard cuando resuelva las raíces.

Answer 3

Voy a terminar la respuesta de Howard Shi. (Hizo todo el trabajo duro).

Obtuvo (3/2) (- 3 +/- sqrt6 i) para x.

Para ponerlo en forma factorizada, simplemente colóquelo en los signos () con () delante de cada respuesta.

(x – 2/3 (-3 + sqrt6 i)) (x. – 2/3 (-3 – sqrt6 i)). ANS.

Answer 4

Hm. Esa fracción hará que sea difícil factorizar a mano (es decir, si se puede factorizar a mano). Así que factoricemos [math] \ frac {1} {4} [/ math], para que nuestra expresión se convierta en [math] \ frac {1} {4} (3x ^ 2 + 12x + 20) [/ math]. Ahora podemos intentar factorizar [matemáticas] 3x ^ 2 + 12x + 20 [/ matemáticas], y luego multiplicar todo por [matemáticas] \ frac {1} {4} [/ matemáticas] al final.

Sabemos que nuestra cuadrática factorizada tomará la forma [matemática] \ frac {1} {4} (3x + \ text {_}) (x + \ text {_}) [/ math], si los ceros de la cuadrática son enteros (y al tratar de factorizar a mano, vamos a suponer que lo son). También sabemos que ambos valores que van en las ranuras vacías tienen que ser positivos, porque tanto el término constante, 20, como el coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas], 12, son positivos. Entonces hay 4 posibilidades diferentes de cuáles podrían ser esos valores, uno para cada par ordenado de factores de los 20. Esto se debe a que podemos ver que el producto de los valores tiene que ser igual a 20, por lo que pueden ser 1 y 20, 20 y 1, 4 y 5, o 5 y 4. La razón por la que hay una diferencia entre el par (1,20) y (20,1) se debe a que 3 frente a la primera [matemática] x [/ matemática] plazo en nuestra factorización. Si tenemos [matemáticas] (3x + 1) (x + 20) [/ matemáticas], el 20 se multiplica por 3, pero si tenemos [matemáticas] (3x + 20) (x + 1) [/ matemáticas], el 1 se multiplica por 3, dando resultados diferentes. Por lo tanto, tenemos que probar los dos.

Si conectamos cada uno de nuestros pares ordenados en las ranuras vacías, encontramos que ninguno de ellos da como resultado un término [matemático] x [/ matemático] de 12, por lo que es imposible factorizar [matemático] 3x ^ 2 + 12x + 20 [/ math] sobre los enteros. En cuanto a factorizar sobre no enteros, es un poco difícil de hacer a mano, por lo que vamos a usar la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática dice que, para un eje cuadrático [matemático] ^ 2 + bx + c [/ matemático], los ceros del cuadrático son [matemático] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac }} {2a} [/ matemáticas]. En nuestro caso, [matemática] a = \ frac {3} {4} [/ matemática], [matemática] b = 3 [/ matemática] y [matemática] c = 5 [/ matemática], así que eso es lo que tenemos para enchufar en la fórmula cuadrática.

[matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {-3 \ pm \ sqrt {3 ^ 2-4 (\ frac {3} {4}) (5)}} {2 (\ frac {3} {4})} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ frac {-3 \ pm \ sqrt {-6}} {\ frac {3} {2}} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ frac {-6 \ pm2 {i} \ sqrt6} {3} [/ math]

Entonces, los ceros de la cuadrática son [matemática] \ frac {-6 + 2 {i} \ sqrt6} {3} [/ matemática] y [matemática] \ frac {-6-2 {i} \ sqrt6} {3} [/ math], donde [math] i = \ sqrt {-1} [/ math]. Entonces, cuando conectamos estos valores en nuestra cuadrática factorizada, terminaremos con 0. Así podemos ver que [matemáticas] \ frac {3} {4} x ^ 2 + 3x + 5 = \ left (x- \ frac { -6 + 2 {i} \ sqrt6} {3} \ right) \ left (x- \ frac {-6-2 {i} \ sqrt6} {3} \ right) [/ math].

Gracias a Claire Germond por encontrar un error en mi trabajo.