Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1+ \ sqrt {-3}} 2 \ right) ^ 9 + \ left (\ frac {1- \ sqrt {-3}} 2 \ right) ^ 9 = -2 [/ matemáticas]

Answer 1

Primero, simplifiquemos las fracciones agregándolas juntas:

[matemáticas] \ frac {(1+ \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} + \ frac {(1- \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(1+ \ sqrt {-3}) ^ 9 + (1- \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

Ahora, multipliquemos los numeradores. Sabemos que cuando multiplicamos un binomio en forma de [matemáticas] (x + y) ^ n [/ matemáticas], comenzamos con [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] y terminamos con [matemáticas] y ^ n [/ matemáticas], con coeficientes del Triángulo de Pascal. Entonces:

[matemáticas] \ frac {1 ^ 9 + 9 \ times 1 ^ 8 \ times (-3) ^ \ frac {1} {2} + 36 \ times 1 ^ 7 \ times (-3) ^ \ frac {2} {2} + 84 \ times 1 ^ 6 \ times (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ times 1 ^ 5 \ times (-3) ^ \ frac {4} {2} + 126 \ veces 1 ^ 4 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 84 \ veces 1 ^ 3 \ veces (-3) ^ \ frac {6} {2} + 36 \ veces 1 ^ 2 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + 9 \ times 1 ^ 1 \ times (-3) ^ \ frac {8} {2} + (-3) ^ \ frac {9} {2} + (1- \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} [/ math]

Simplifiquemos eso un poco:

[matemáticas] \ frac {1 + 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} + 36 \ veces -3 + 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ veces (-3) ^ 2 + 126 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 84 \ veces (-3) ^ 3 + 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2 } + 9 \ veces (-3) ^ 4 + (-3) ^ \ frac {9} {2} + (1- \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1 + 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} – 108 + 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 1134 + 126 \ veces ( -3) ^ \ frac {5} {2} – 2268 + 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + 729 + (-3) ^ \ frac {9} {2} + (1 – \ sqrt {-3}) ^ 9} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {- 512 + 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} + 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + (-3) ^ \ frac {9} {2} + (1- \ sqrt {-3} ) ^ 9} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

Ahora analicemos el otro binomio:

[matemáticas] \ frac {- 512 + 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} + 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + (-3) ^ \ frac {9} {2} + 1 ^ 9 – 9 \ veces 1 ^ 8 \ times (-3) ^ \ frac {1} {2} + 36 \ times 1 ^ 7 \ times (-3) ^ \ frac {2} {2} – 84 \ times 1 ^ 6 \ times (-3 ) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ times 1 ^ 5 \ times (-3) ^ \ frac {4} {2} – 126 \ times 1 ^ 4 \ times (-3) ^ \ frac {5 } {2} + 84 \ veces 1 ^ 3 \ veces (-3) ^ \ frac {6} {2} – 36 \ veces 1 ^ 2 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + 9 \ veces 1 ^ 1 \ veces (-3) ^ \ frac {8} {2} – (-3) ^ \ frac {9} {2}} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

Más simplificación:

[matemáticas] \ frac {- 512 + 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} + 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + (-3) ^ \ frac {9} {2} + 1 – 9 \ veces (-3) ^ \ frac {1} {2} + 36 \ veces -3 – 84 \ veces (-3) ^ \ frac {3} {2} + 126 \ veces (-3) ^ 2 – 126 \ veces (-3) ^ \ frac {5} {2} + 84 \ veces (-3) ^ 3 – 36 \ veces (-3) ^ \ frac {7} {2} + 9 \ veces (-3) ^ 4 – (-3 ) ^ \ frac {9} {2}} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

¡Mira todas esas [matemáticas] n \ veces (-3) ^ \ frac {k} {2} – n \ veces (-3) ^ \ frac {k} {2} [/ matemáticas]! Todos van a 0, por lo que podemos eliminarlos:

[matemáticas] \ frac {- 512 + 1 + 36 \ veces -3 + 126 \ veces (-3) ^ 2 + 84 \ veces (-3) ^ 3 + 9 \ veces (-3) ^ 4} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

Ahora más simplificación:

[matemáticas] \ frac {- 512 + 1 – 108 + 1134 – 2268 + 729} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {- 1024} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {2 ^ {10}} {2 ^ 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {2 ^ 1} {2 ^ 0} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {2} {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 [/ matemáticas]

Answer 2

Hay una manera lenta, pero en última instancia simple. Ve y multiplica. Sí, es tedioso. Pero puedes hacerlo.

Sin embargo, existe una forma aún más simple, pero necesita conocer algunas identidades de números complejos. Mire detenidamente los dos términos y descubra que

[matemáticas] \ frac {1+ \ sqrt {-3}} {2} = \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Ahora, si conoce la fórmula de Euler [matemáticas] \ cos \ phi + i \ sin \ phi = \ exp (i \ phi) [/ matemáticas], puede reconocer lo anterior como

[matemáticas] \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} = \ cos \ frac {\ pi} {3} + i \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ exp (i \ frac {\ pi} {3}) [/ matemáticas]

Y como [math] \ exp (i \ phi) ^ n = \ exp (in \ phi), [/ math] la expresión anterior es simplemente

[matemáticas] \ exp (3i \ pi) – \ exp (-3i \ pi) = 2 \ cos3 \ pi = -2 [/ matemáticas]

Answer 3

Si ves de cerca verías que uno es el conjugado del otro. Entonces, si pones el primero en forma polar:

[matemáticas] z = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

Luego reemplazando:

[matemáticas] r ^ 9 e ^ {9i \ theta} + r ^ 9 e ^ {- 9i \ theta} = r ^ 9 (e ^ {9i \ theta} + e ^ {- 9i \ theta}) [/ matemáticas ]

[matemáticas] = r ^ 9 2 \ cos {(9 \ theta)} [/ matemáticas]

Entonces y

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {1} {4} + \ frac {3} {4}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = \ arctan {\ sqrt {3}} = \ frac {\ pi} {3} [/ matemáticas]

Sustitución:

[matemáticas] = 1 ^ 9 2 \ cos {3 \ pi} = 2 \ cos {\ pi} = – 2 [/ matemáticas]

Answer 4

Si multiplica ambos lados por [matemática] (-1) ^ 9 [/ matemática] (que es [matemática] -1 [/ matemática]) y escribe [matemática] i \ sqrt {3} [/ matemática] para [matemática ] \ sqrt {-3} [/ math] (lo cual siempre debes hacer por cierto), debes demostrar que

[matemática] \ left (\ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 9 + \ left (\ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 9 = 2. [/ Matemáticas]

Ahora, si ha tomado un curso de introducción a números complejos, puede reconocer dos raíces cúbicas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. La multiplicación simple muestra que

[matemáticas] \ left (\ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 3 = \ left (\ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 3 = 1. [/ matemáticas]

Dado que [matemáticas] \ left (\ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 9 = \ left (\ left (\ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2 } \ right) ^ 3 \ right) ^ 3 [/ math] y el análogo para la otra raíz, has demostrado que

[matemática] \ left (\ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 9 + \ left (\ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 9 = 1 ^ 3 + 1 ^ 3 = 2, [/ matemáticas]

que es equivalente al resultado deseado.

Answer 5

[matemáticas] (\ frac {1+ \ sqrt {-3}} {2}) ^ {9} + (\ frac {1- \ sqrt {-3}} {2}) ^ {9} = – 2 [ /matemáticas]

El primer paso para resolver este problema es darse cuenta de que [matemáticas] (\ frac {a} {b}) ^ {c} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] \ frac {a ^ {c}} {b ^ {c}} [/ matemáticas]. Usar esto para nuestra ecuación da como resultado:

[matemáticas] \ frac {(1+ \ sqrt {-3}) ^ {9}} {2 ^ {9}} + \ frac {(1- \ sqrt {-3}) ^ {9}} {2 ^ {9}} = – 2 [/ matemáticas]

Multiplicar toda la ecuación por [matemáticas] 2 ^ {9} [/ matemáticas] nos da:

[matemáticas] (1+ \ sqrt {-3}) ^ {9} + (1- \ sqrt {-3}) ^ {9} = – 2 (2 ^ {9}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

Ahora podemos utilizar el hecho de que [math] (a ^ {b}) ^ {c} [/ math] es igual a [math] a ^ {b \ times c} [/ math]:

[matemáticas] ((1+ \ sqrt {-3}) ^ {3}) ^ {3} + ((1- \ sqrt {-3}) ^ {3}) ^ {3} = – (2 ^ { 10}) [/ matemáticas]

Ahora podemos comenzar a expandir los corchetes:

[matemáticas] ((1 + 2 \ sqrt {-3} -3) (1+ \ sqrt {-3})) ^ {3} + ((1-2 \ sqrt {-3} -3) (1- \ sqrt {-3})) ^ {3} = – (2 ^ {10}) [/ math]

Cancelando términos similares:

[matemáticas] ((- 2 + 2 \ sqrt {-3}) (1+ \ sqrt {-3})) ^ {3} + ((- 2-2 \ sqrt {-3}) (1- \ sqrt {-3})) ^ {3} = – (2 ^ {10}) [/ math]

Expandiendo los corchetes:

[matemáticas] (- 2 + 2 \ sqrt {-3} -2 \ sqrt {-3} -6) ^ {3} + (- 2-2 \ sqrt {-3} +2 \ sqrt {-3} – 6) ^ {3} = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

Cancelando términos similares:

[matemáticas] (- 8) ^ {3} + (- 8) ^ {3} = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

Factorizando ambas ocurrencias de [matemática] -8 [/ matemática] a [matemática] – (2 ^ {3}) [/ matemática]:

[matemáticas] (- (2 ^ {3})) ^ {3} + (- (2 ^ {3})) ^ {3} = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

Expandiendo los corchetes:

[matemáticas] – (2 ^ {9}) – (2 ^ {9}) = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 (2 ^ {9}) = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

[matemáticas] – (2 ^ {10}) = – (2 ^ {10}) [/ matemáticas]

Answer 6

Usando la fórmula de Euler:

[matemáticas] \ frac {1 + \ sqrt {-3}} {2} = \ cos (\ pi / 3) + i \ sin (\ pi / 3) = \ exp (i \ pi / 3) [/ matemáticas ]

Similar,

[matemáticas] \ frac {1 – \ sqrt {-3}} {2} = \ cos (- \ pi / 3) + i \ sin (- \ pi / 3) = \ exp (-i \ pi / 3) [/matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ left (\ frac {1 + \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ 9 + \ left (\ frac {1 – \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ 9 \\ = \ left (\ exp (i \ pi / 3) \ right) ^ 9 + \ left (\ exp (-i \ pi / 3) \ right) ^ 9 \\ = \ exp (i 3 \ pi) + \ exp ^ 9 (-i 3 \ pi) \\ = \ cos (3 \ pi) + i \ sin (3 \ pi) + \ cos (-3 \ pi) + i \ sin (-3 \ pi) \\ = 2 \ cos (3 \ pi) = – 2 [/ matemáticas]

Answer 7

Algunos han sugerido que use la identidad de Euler. Sin embargo, si conoces la identidad de Euler, probablemente no harías la pregunta. Existe una versión diluida de la identidad de Euler llamada teorema de DeMoivre, y probablemente haya estado expuesto a eso. Te sugiero que lo busques.

La tormenta de DeMoivre dice:

[matemáticas] (\ cos x + i \ sin x) ^ n = \ cos nx + i \ sin nx [/ matemáticas]

Lo cual es bastante bueno, porque vincula el álgebra de los números complejos con la trigonometría.

Ahora, ¿puedes ver cómo vincular a De Moivre con el problema en cuestión?

Answer 8

La forma tediosa: –

[matemáticas] \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 + \ sqrt {-3}} {2} \ bigg) ^ 9 + \ bigg (\ frac {1- \ sqrt {-3}} {2} \ bigg) ^ 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ bigg (\ frac {1 + \ sqrt {-3}} {2} \ bigg) ^ 3 \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ bigg (\ frac {1- \ sqrt {-3}} {2} \ bigg) ^ 3 \ bigg) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque (a ^ b) ^ c = a ^ {bc} \ hspace {0.1cm}] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {(1 + \ sqrt {-3}) ^ 3} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {(1- \ sqrt {-3}) ^ 3} {8} \ bigg) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque (\ frac {a} {b}) ^ c = \ frac {a ^ c} {b ^ c} \ hspace {0.1cm }][/matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {(1 + i \ sqrt {3}) ^ 3} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {(1-i \ sqrt {3}) ^ 3} {8} \ bigg) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque (ab) ^ c = a ^ cb ^ c \ text {y} \ sqrt {-1} = i \ hspace {0.1cm} ][/matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 ^ 3 + (i \ sqrt {3}) ^ 3 +3 (1) ^ 2 (i \ sqrt {3}) + 3 (i \ sqrt {3} ) ^ 2 (1)} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 ^ 3 – (i \ sqrt {3}) ^ 3 -3 (1) ^ 2 (i \ sqrt {3} ) + 3 (i \ sqrt {3}) ^ 2 (1)} {8} \ bigg) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3a ^ 2b + 3b ^ 2a \ text {y} (ab) ^ 3 = a ^ 3 – b ^ 3 – 3a ^ 2b + 3b ^ 2a \ hspace {0.1cm}] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -i3 ^ {\ frac {3} {2}} + i3 \ sqrt {3} -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -i3 \ sqrt {3} -9} {8} \ bigg) ^ 3 \ displaystyle [/ math]

[matemáticas] \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque i ^ 3 = -i \ text {y} i ^ 2 = -1 \ hspace {0.1cm}] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -i3 ^ {\ frac {3} {2}} + i \ sqrt {3} \ sqrt {3} \ sqrt {3} -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -i \ sqrt {3} \ sqrt {3} \ sqrt {3} -9} {8} \ bigg ) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque a = \ sqrt {a} \ sqrt {a} = a ^ {\ frac {1} {2}} a ^ {\ frac {1} {2}} = a ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2}} = a ^ {1} \ hspace {0.1cm}] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -i3 ^ {\ frac {3} {2}} + i (\ sqrt {3}) ^ 3 -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -i (\ sqrt {3}) ^ 3 -9} {8} \ bigg) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ hspace {0.1cm} [\ hspace {0.1cm} \ porque (a) (a) (a) = a ^ 3 \ hspace {0.1cm}] [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -i3 ^ {\ frac {3} {2}} + i (3 ^ {\ frac {1} {2}}) ^ 3 -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -i (3 ^ {\ frac {1} {2}}) ^ 3 -9} {8} \ bigg) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -i3 ^ {\ frac {3} {2}} + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 + i3 ^ {\ frac {3} {2}} -i3 ^ {\ frac {3} {2}} -9} {8} \ bigg) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ require {cancel} = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 \ cancel {-i3 ^ {\ frac {3} {2}}} \ cancel {+ i3 ^ {\ frac {3} {2} }} -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 \ cancel {+ i3 ^ {\ frac {3} {2}}} \ cancel {-i3 ^ {\ frac {3} {2}}} -9} {8} \ bigg) ^ 3 [/ math]

[math] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {1 -9} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {1 -9} {8} \ bigg) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ bigg (\ frac {-8} {8} \ bigg) ^ 3 + \ bigg (\ frac {-8} {8} \ bigg) ^ 3 [/ math]

[math] = \ displaystyle \ bigg (-1 \ bigg) ^ 3 + \ bigg (-1 \ bigg) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = – 1 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – 2 [/ matemáticas]

Answer 9

Las raíces cúbicas de la unidad satisfacen [matemáticas] x ^ 3–1 = 0 [/ matemáticas]. Si estos tampoco son reales , diga [matemáticas] \ omega [/ matemáticas] y [matemáticas] \ overline {\ omega} [/ matemáticas], entonces también satisfacen [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 = 0 [ / math] ya que [math] x ^ 3–1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ math]. Dado que [math] \ frac {1} {2} (1 \ pm \ sqrt {-3}) [/ math] son ​​los negativos de las dos raíces de [math] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ math ],

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1+ \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ 9 + \ left (\ dfrac {1- \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ 9 = \ big (- \ omega \ big) ^ 9 + \ big (- \ overline {\ omega} \ big) ^ 9 [/ math]

[math] = – \ Big ({\ omega} ^ 3 \ Big) ^ 3 – \ Big ({\ overline {\ omega}} ^ 3 \ Big) ^ 3 [/ math]

[matemáticas] = – 1 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = -2 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 10

Podemos resolver este problema por dos métodos.

1. Complejo sin enfoque
2. Cálculo simple USANDO expansión binomial.

Tenemos del complejo ninguna raíz cuadrada de -1 es igual a i.

En este problema si usamos el teorema de de moivre Cos theta + i sin theta = e ^ (i theta)

Sabemos esto por complejo sin enfoque. Hay muchos métodos Pero creo que esta es la forma más sencilla de abordar esta cuestión.

Gracias espero que ayude …

Answer 11

Deje [math] a_n = \ lambda_1 ^ n + \ lambda_2 ^ n [/ math]. Reconocemos [math] a_n [/ math] como solución de la ecuación recursiva

[matemáticas] a_ {n + 2} – (\ lambda_1 + \ lambda_2) a_ {n + 1} + \ lambda_1 \ lambda_2a_n = 0. [/ matemáticas]

Ahora conecte los dos [math] \ lambda [/ math] s. Luego, a partir de la condición inicial [matemáticas] a_0 = 2, a_1 = 1 [/ matemáticas], puede resolver [matemáticas] a_9 [/ matemáticas] por iteración.

Una forma indirecta y tediosa de hecho.

Answer 12

Lo más fácil es notar que [math] \ dfrac {1+ \ sqrt {-3}} {2} [/ math] y [math] \ dfrac {1- \ sqrt {-3}} {2} [/ math] son ​​las dos raíces cúbicas complejas de [math] -1 [/ math]. Entonces, el resultado sigue inmediatamente.

---

Aquí hay una pequeña forma de hacer esto usando una formulación recursiva. Primero, tenga en cuenta que si [math] \ dfrac {1 + \ sqrt {-3}} {2} = a \, [/ math] entonces [math] \ dfrac {1 – \ sqrt {-3}} {2} = \ dfrac {1} {a}. [/ math] Por lo tanto,

[matemáticas] a + \ dfrac {1} {a} = 1 [/ matemáticas]

Deje [math] s_n = a ^ n + \ dfrac {1} {a ^ n}. [/ Math] Por lo tanto,

[matemáticas] a ^ n + \ dfrac {1} {a ^ n} = \ left (a ^ {n – 1} + \ dfrac {1} {a ^ {n – 1}} \ right) \ left (a + \ dfrac {1} {a} \ right) – \ left (a ^ {n – 2} + \ dfrac {1} {a ^ {n – 2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica s_n = s_ {n – 1} – s_ {n – 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] s_2 = -1 \, s_3 = -2 \, s_4 = -1 \, s_5 = 1 \, s_6 = 2 \, s_7 = 1 \, s_8 = -1, s_9 = -2 [/ matemáticas]

Answer 13

Utilice el teorema de DeMoivre: [matemáticas] (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ n = \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta) [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1+ \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ {9} + \ left (\ dfrac {1- \ sqrt {-3}} {2} \ right) ^ {9} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left (\ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ {9} + \ left (\ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ {9} [/ math]

[matemáticas] = \ left (\ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \ right) ^ {9} + \ left (\ cos \ left (- \ frac {\ pi} {3} \ right) + i \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {3} \ right) \ right) ^ {9} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ left (\ cos (3 \ pi) + i \ sin (3 \ pi) \ right) + \ left (\ cos (-3 \ pi) + i \ sin (-3 \ pi) \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] = (-1 + 0i) + (-1 + 0i) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -2 [/ matemáticas]

Answer 14

Esta es la suma de los conjugados, por lo que será puramente real. Es un ejemplo de que mi problema favorito de cada problema trigonométrico es [matemática] 30 ^ \ circ [/ matemática] o [matemática] 45 ^ \ circ; [/ matemática] la [matemática] \ sqrt {3} [/ matemática] es la pista [matemática] 30 ^ \ circ [/ matemática].

Tenemos

[matemáticas] z = \ dfrac {1 + \ sqrt {-3}} {2} = \ dfrac {1} {2} + i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = \ cos (60 ^ \ circ) + i \ sin (60 ^ \ circ) = e ^ {i \ 60 ^ \ circ} = e ^ {i \ pi / 3} [/ math]

Estamos interesados ​​en

[matemáticas] s = z ^ 9 + (z ^ *) ^ 9 [/ matemáticas] [matemáticas] = (e ^ {i \ pi / 3}) ^ 9 + (e ^ {- i \ pi / 3}) ^ 9 [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {i (9 \ pi / 3)} + e ^ {i (-9 \ pi / 3)} [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {3 \ pi i} + e ^ {- 3 \ pi i} [/ matemáticas] [matemáticas] = e ^ {2 \ pi i} e ^ {\ pi i} + e ^ {- 2 \ pi i} e ^ {- \ pi i} = e ^ {\ pi i} + e ^ {- \ pi i} = -1 + -1 = -2 [/ matemáticas]

Answer 15

Convierta el número en cada paréntesis en la forma [math] re ^ {i \ theta} [/ math], después de lo cual puede tomar fácilmente el exponente y la suma.

Answer 16

Sabemos que [math] (1 + √3i) / 2, (1-√3i) / 2 [/ math] son ​​las raíces cúbicas de la unidad negativa o [math] -1 [/ math] por lo que la ecuación dada simplemente significa [matemáticas] (((1 + √3i) / 2) ³) ³ + (((1-√3i) / 2) ³) ³ [/ matemáticas]

Que simplemente se evalúa como [matemáticas] -1³ + -1³ = -2 [/ matemáticas]

Answer 17

(1 + √-3) / 2 = (1 + i√3) / 2 = (cos π / 3 + i senπ / 3)

Aplicar el teorema de moiver

((1 + √-3) / 2) ^ 9 = ((1 + i√3) / 2) ^ 9

= (cos π / 3 + i senπ / 3) ^ 9

= (cos (9 × π ​​/ 3) + i sen (9 × π ​​/ 3))

= cos 3π + i sen 3π

= -1 + 0

= -1

Entonces

Dado que ((1 – √-3) / 2) ^ 9 es el conjugado de ((1 + √-3) / 2) ^ 9. Sabemos que el conjugado de número real es el número mismo.

Entonces

(1 – √-3) / 2) ^ 9 = -1

(1 + √-3) / 2) ^ 9 + (1 – √-3) / 2) ^ 9 = -1 + -1 = -2.

Answer 18

¡Este problema se puede resolver simplemente usando el mundo de las raíces cúbicas de Unity! Por Unidad, en realidad quiero decir con el número 1. o muy propio. Entonces, para comenzar, encontremos la raíz cúbica de 1.

ENTONCES,

[matemáticas] x ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3-1 = 0 [/ matemáticas]

Al usar la identidad: [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + b ^ 2 + ab); [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 3-1 = 0 [/ matemática] puede factorizarse como [matemática] (x-1) (x ^ 2 + 1 ^ 2 + x) = 0; [/ matemática]

que se convierte en:: [matemáticas] (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0; [/ matemáticas]

Ahora una de nuestras raíces se convierte en: x-1 = 0; Por lo tanto x = 0;

Ahora resolviendo [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 = 0 – (1) [/ matemáticas] usando la fórmula cuadrática o simplemente la fórmula de Shrisharcharya tal como fue formada por él;

Encontramos que las raíces son:

(-1 + 3i) / 2 y (-1–3i) / 2;

Yo soy la notación de Iota aquí.

Tradicionalmente, estas raíces están representadas por los símbolos w y [math] w ^ 2 [/ math] respectivamente.

Si ponemos estos en nuestra ecuación no. 1, conseguiremos o.

por lo tanto, como 1, w & [math] w ^ 2 [/ math] son ​​raíces cúbicas de 1, sus cubos serán iguales a 1.

Así [matemáticas] w ^ 2 = 1 y (w ^ 2) ^ 3 = 1 [/ matemáticas].

En el problema si comparamos los operandos con w y [math] w ^ 2 [/ math] podemos ver claramente que tiene la forma:

[matemáticas] (- w ^ 9) + (- w ^ 2) ^ 9 = -1 + (- 1) = – 2 [/ matemáticas]

Y finalmente lo hemos probado. Salud !!

Este problema también podría probarse mediante muchas otras técnicas, como se ve claramente en otras respuestas. El objetivo aquí no era solo probar el problema sino introducir un concepto muy nuevo de raíz cúbica de la unidad. ¡¡Espero que ayude … !!

PD: Lo siento, si hay alguna ecuación, no estoy claro, ya que fue mi primera respuesta matemática en Quora. Comenta si hay algún problema 🙂

Answer 19

Espero que tengas suficiente conocimiento de números complejos como lo has publicado.

Es bastante fácil si conoce la fórmula de Euler que se escribe como cos (theta) + i sin (theta) = e ^ i (theta)

Aquí el primer tema en la pregunta es (cos60 + isin60) ^ 9 y el segundo término es (cos300 + isin300) ^ 9. Por lo tanto, al aplicar euler, obtendrá (cos540 + isin540) + (cos2700 + isin2700). Ahora use solo trigo.

Cos2700 = cos180 = -1

cos540 = cos180 = -1

sin540 = sin180 = 0

Sin2700 = sin180 = 0

Por lo tanto, obtendrá el lhs = rhs a -1–1 = -2

Creo que no he podido explicarlo con claridad simplemente usando las limitadas opciones de escritura disponibles para mí. Por lo tanto, también publicaré una foto de la prueba pronto.

Answer 20

Vea si observa las ecuaciones de manera básica, encontrará que ambas expresiones en el paréntesis son raíces cúbicas complejas de la unidad multiplicadas por -1 y la novena potencia de ambos dará -1 en los dos corchetes y al simplificarlos agregue -1 y -1 que te da el RHS.