Cómo resolver la ecuación [matemáticas] x ^ {- 60} = x ^ 1 [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 1 {x ^ {60}} = x \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

¿Es esta la ecuación? Si es así, prepárate para jugar con números complejos.

Pon la ecuación más simple,

[matemáticas] \ displaystyle x ^ {61} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

1 es la respuesta correcta inmediata. Sin embargo, esta ecuación debe tener 61 raíces. ¿A dónde fueron las otras raíces? Si conoces las raíces de la unidad, adelante. Si no, déjame decirte lo siguiente.

Si tiene el número complejo [math] a + bi [/ math], siempre podemos reescribirlo para que se convierta en [math] r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) [/ math]

donde r es la distancia desde el origen al número complejo, más formalmente llamado módulo, y [math] \ theta [/ math] es el ángulo formado con el origen de unión de línea y ese número complejo y el eje x positivo, medido anti -agujas del reloj.

Esta transformación se puede probar fácilmente usando trigonometría, por lo que no voy a probarlo. Para aún más simplemente escribir esta transformación. El primero es [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] en coordenadas cartesianas, todo el último es [matemáticas] (r, \ theta) [/ matemáticas] en coordenadas polares.

La razón por la que usamos coordenadas polares generalmente es que la multiplicación se simplifica mucho .

De hecho,

[matemáticas] \ displaystyle (r_1, \ theta _1) \ times (r_2, \ theta _2) = (r_1r_2, \ theta _1 + \ theta _2) \ tag * {} [/ math]

Este es un resultado sorprendente. Cuando multiplica un número complejo por sí mismo usando esta regla, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle (r, \ theta) ^ n = (r ^ n, n \ theta) \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces estamos resolviendo

[matemáticas] \ displaystyle (r, \ theta) ^ {61} = (1, 0) \ tag * {} [/ matemáticas]

Por supuesto, aún puede ver que [math] \ theta [/ math] puede ser 0, pero esta no es la única solución.

Mientras r sea 1, que es el único valor que puede tomar de todos modos, dado que r es (y representa) real, podemos ignorar r en este momento.

[matemáticas] \ displaystyle 61 \ theta = 2 \ pi k \ tag * {} [/ matemáticas]

Puede hacer que el argumento 0 sea 2 pi, 4 pi, etc., y esto también es 1.

[matemáticas] \ theta = \ dfrac {2 \ pi k} {61} [/ matemáticas] cuando k = 0,1,2,…, 60

Entonces las soluciones serán

[math] \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math], donde [math] \ theta [/ math] se describe arriba.

Si traza todas las 61 raíces a la vez, verá que se encuentran en el círculo unitario, simplemente porque sus módulos (no sé si la forma plural del módulo es realmente esto) es 1.

Answer 2

Obviamente sobre los reales la solución es [matemáticas] x = 1. [/ matemáticas] Hagámoslo un poco más interesante y supongamos que estamos operando sobre números complejos. Para reflejar esto, cambiemos lo desconocido a [math] z. [/ Math]

[matemáticas] z ^ {- 60} = z ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = z ^ {61} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 1 ^ {\ frac 1 {61}} [/ matemáticas]

Así que buscamos las 61 raíces de la unidad. Hay 61 de ellos, uno para cada uno de los 61 enteros consecutivos [matemática] k. [/ Matemática] ([matemática] k [/ matemática] se extiende sobre todos los enteros, pero después de 61 de ellos la [matemática] z [/ matemática ] s comienzan a repetirse)

[matemáticas] z = e ^ {2 \ pi ki / 61} [/ matemáticas]

Hay una solución real en el grupo. [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] da

[matemáticas] z = 1 [/ matemáticas]

Cheque:

[matemáticas] z ^ {61} = (e ^ {2 \ pi ki / 61}) ^ {61} = e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 1 \ cdot z ^ {60} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 1 = z ^ {- 60} \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Answer 3

Divide ambos lados entre x ^ 1. Obtiene x ^ -61 = 1. Sin embargo, nunca debe dividir por cero, por lo que debe considerar la posibilidad de que x = 0. Pero 0 ^ -60 no tiene sentido, por lo que no puede tener x = 0.

Ahora eleva ambos lados a la potencia -1. Obtienes x ^ 61 = 1. Luego toma la raíz 61 de ambos lados. Obtienes x = 1.