Cómo encontrar el área delimitada por la curva [matemática] y ^ 2-3x + 3 = 0 [/ matemática] y la línea [matemática] x = 4 [/ matemática]

Answer 1

Integrando con respecto a dy

[matemáticas] \ text y ^ 2 -3 \ text x + 3 = 0 \ iff \ text x = \ frac {\ text y ^ 2} {3} +1 [/ math]

[matemáticas] \ text x = 4 [/ matemáticas]

Los puntos de intersección son

[matemáticas] \ text y ^ 2 -3 (4) + 3 = 0 \ iff \ text y = \ pm \ sqrt {9} [/ math]

[matemáticas] \ text y = \ pm \ sqrt {9} \ iff \ text y = \ pm 3 [/ math]

[matemáticas] \ int _ {- 3} ^ {3} 4- (\ frac {\ text y ^ 2} {3} +1) \ text d \ text y \ iff \ int _ {- 3} ^ {3} 3 – \ frac {\ text y ^ 2} {3} \ text d \ text y [/ math]

[matemáticas] \ int _ {- 3} ^ {3} 3- \ frac {\ text y ^ 2} {3} \ text d \ text y \ iff [3y- \ frac {\ text y ^ 3} {9} ] _ {- 3} ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] [3y- \ frac {\ text y ^ 3} {9}] _ {- 3} ^ 3 \ iff 2 [3y- \ frac {\ text y ^ 3} {9}] _0 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 [3y- \ frac {\ text y ^ 3} {9}] _0 ^ 3 = 12 [/ matemáticas]

Resuelto!

Answer 2

[matemáticas] y ^ 2–3x + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 = 3x-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 = 3 (x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ pm 3 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] A = \ displaystyle \ int _ {- 3} ^ {3} \ left [4- \ dfrac {1} {3} (y ^ 2 + 3) \ right] \, dy [/ math]

[matemáticas] \ implica A = \ displaystyle 2 \ int_0 ^ 3 \ left [4- \ dfrac {1} {3} (y ^ 2 + 3) \ right] \, dy [/ math] [Región simétrica]

[matemática] \ implica A = 2 \ izquierda [4y- \ dfrac {y ^ 3} {27} -y \ derecha] _0 ^ 3 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica A = 2 \ izquierda (12-1-3 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica A = 2 (12-4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica A = 16 [/ matemáticas]

---

Nota: Dibuje el gráfico para comprender por qué configuré la integral de la manera que lo hice.

Answer 3

Antes de encontrar el área de la curva, podemos tratar de buscar la gráfica de la curva [matemáticas] y²-3x + 3 = 0 [/ matemáticas] y la línea [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

La figura muestra que la línea interseca la curva en los puntos (4,3) y (4, -3). También podemos obtener el mismo resultado al poner x = 4 en (a) y luego resolver para y. Ahora usemos el hecho de que al barrer la franja horizontal de abajo hacia arriba, obtenemos el área:

Para este problema, el elemento de área [matemática] dA [/ matemática] es un rectángulo horizontal con longitud [matemática] dy [/ matemática] y ancho [matemática] f (y) – g (y) [/ matemática] con [matemática ] f (y) = (y ^ 2 + 3) / 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] g (y) = 4 [/ matemáticas]

La fórmula general para el área entre dos curvas es

Ahora, conectando tenemos

donde puedes aplicar las reglas y técnicas de integración que has aprendido.

Answer 4

x = 4 →font> y² — 12 + 3 = 0 →font> y² = 9 →font> y = ± 3 Área delimitada = rectángulo 4 × 6–2∫xdy [0,3]

= 24–2 / 3 ∫ (y² + 3) dy [0,3]

= 24–2 / 3 [y³ / 3 + 3y] ³

= 24–2 / 3 (9 +9)

= 24–12 = 12 unidades²

Answer 5

Maryjane Creo que ya tienes un par de respuestas realmente buenas, así que pasaré la pregunta, pero si todavía necesitas ayuda, solo recuérdamelo y lo resolveré por ti. Todavía no tengo la capacidad de responder con un gráfico, y la comprensión de las áreas de computación a través de la integración requiere un gráfico.