¿Cuáles son los dos números para los cuales la suma de los dos números es 4 y la diferencia entre las raíces cuadradas de los números es 1?

Answer 1

La información dada se puede escribir como [matemáticas] x + y = 4 [/ matemáticas].

por lo tanto, [matemáticas] x = y-4 [/ matemáticas]. (ecuación 1)

[matemáticas] \ sqrt x – \ sqrt y = 1 [/ matemáticas] (ecuación 2)

cuadrando la ecuación 2, obtenemos;

[matemáticas] x + y -2 \ sqrt x \ sqrt y = 1 [/ matemáticas]

dado [matemática] x + y = [/ matemática] 4, por lo tanto, [matemática] 4–2 \ sqrt x \ sqrt y = 1 [/ matemática]

sustituyendo la ecuación 1, obtenemos;

[matemáticas] 4–2 \ sqrt x \ sqrt {4-x} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 – \ {2 \ sqrt {4x- (x ^ 2)} \} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 = 2 \ sqrt {4x- (x ^ 2)} [/ matemáticas]

cuadrando ambos lados;

[matemáticas] 9 = 4 [4x- (x ^ 2)] [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 (x ^ 2) -16x + 0 = 0 [/ matemáticas]

resolviendo esto, obtenemos los valores como [matemática] x = 3.32 [/ matemática] y [matemática] 0.68 [/ matemática] [VALORES APROXIMADOS]

Si [matemática] x = 3.32 [/ matemática], entonces [matemática] y = 0.68 [/ matemática].

si [matemática] x = 0.68 [/ matemática], entonces [matemática] y = 3.32 [/ matemática].

Espero que esto ayude 🙂

Answer 2

Supongamos que [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] sean dos números reales, y que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] sean sus respectivas raíces cuadradas.

Tal que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] ab = 1 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] a = 1 + b [/ matemáticas]. Sustituya en la primera ecuación para encontrar [matemáticas] (1 + b) ^ 2 + b ^ 2 = 4 [/ matemáticas].

[matemáticas] (1 + 2b + b ^ 2) + b ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b ^ 2 + 2b-3 = 0 [/ matemáticas]

Usa fórmula cuadrática

[matemáticas] b = (- 2 +/- sqrt (2 ^ 2–4 * 2 * -3)) / (2 * 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] b = -. 5 \ pm.5 \ sqrt {7} [/ matemáticas]

Como [matemática] a = 1 + b [/ matemática], [matemática] a = .5 \ pm.5 \ sqrt {7} [/ matemática]

Entonces WLOG [matemáticas] A = 2 + .5 \ sqrt {7} [/ matemáticas] y [matemáticas] B = 2-.5 \ sqrt {7} [/ matemáticas].

Answer 3

¿Cuáles son los dos números (llamémoslos [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]) para los cuales la suma de los dos números es 4 (esto es: [matemáticas] x + y = 4 [ / math]) y la diferencia entre las raíces cuadradas de los números es 1 (esto es: [math] | \ sqrt x- \ sqrt y | = 1 [/ math]) ?

Sin pérdida de generalidad, hacemos [matemáticas] x> y [/ matemáticas]. Entonces tenemos nuestras ecuaciones:

[matemáticas] \ begin {align *} x + y & = 4 && \ text {(1)} \\\ sqrt x- \ sqrt y & = 1 && \ text {(2)} \ end {align *} [/ math]

Entonces, juguemos un poco con ellos.

[matemáticas] \ begin {align *} x-2 \ sqrt {xy} + y & = 1 && \ text {al cuadrado (2)} \\ 4–2 \ sqrt {xy} & = 1 && \ text {sustituyendo (1) } \\ 3 & = 2 \ sqrt {xy} \\\ cfrac32 & = \ sqrt {xy} \\\ cfrac94 & = xy && \ text {(3)} \ end {align *} [/ math]

Entonces, tenemos dos números cuya suma es 4 y el producto es 9/4.

Si tenemos la ecuación [matemática] (xa) (xb) = 0 [/ matemática], entonces [matemática] x = a [/ matemática] y [matemática] x = b [/ matemática], ambas son soluciones, pero [matemáticas] (xa) (xb) = x ^ 2- (a + b) x + ab [/ matemáticas]. Esto significa que en la solución de [math] x ^ 2-Ax + B = 0 [/ math] hay dos números [math] a [/ math] y [math] b [/ math], como [math] a + b = A [/ matemáticas] y [matemáticas] ab = B [/ matemáticas].

La solución del problema es la solución de [matemáticas] x ^ 2-4x + \ frac94 = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ begin {align *} x ^ 2-4x + \ cfrac94 & = 0 \\ x & = \ cfrac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot \ frac94}} 2 \\ & = \ cfrac { 4 \ pm \ sqrt {16–9}} 2 \\ & = 2 \ pm \ frac12 \ sqrt7 \ end {align *} [/ math]

Dado que supuse [matemáticas] x> y [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ begin {align *} x & = 2 + \ frac12 \ sqrt7 \ simeq3.323 \\ y & = 2- \ frac12 \ sqrt7 \ simeq0.687 \ end {align *} [/ math]

Answer 4

¿Qué tipo de “número” quieres decir?

Si se supone que son enteros, ¡entonces no hay solución!

Si algún número funciona, entonces el número más grande es 2 + SQRT (1.75), el más pequeño es 2-SQRT (1.75)

Answer 5

x + y = 4

√x-√y = 1 ……. (1)

(√x + √y) (√x-√y) = 4

√x + √y = 4 ……. (2)

Al resolver (1) y (2)

Los dos números son 25/4 y 9/4.