Mostraré una forma: cuadrática
un cuadrático es un tipo de ecuación o su gráfica usando la fórmula ax ^ 2 + bx + c
contraste con una ecuación lineal ax + c (o bx + c si desea que se ajuste a la cuadrática)
las potencias distintas de 1 o 0 agregan curvas (como se puede ver en el gráfico)
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- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 (x) \, \ mathrm dx [/ math]?
- ¿Cuál es el valor de [math] \ log_ {1024} \ dfrac {(\ sqrt {3} + i) ^ {1991}} {\ sqrt {3} -i} [/ math]?
- Cómo probar [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
- ¿Cómo se grafica una línea con una pendiente indefinida?
He aquí una forma de factorizar las cuadráticas: factorizar, así:
Primero conozca estas reglas (y lo que significan):
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
si (a + b) (a + b) es (a + b) ^ 2 y con esto obtenemos aa + ab + ab + bb = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
Esta es la regla cuadrada perfecta.
para (a + b) (ab) obtenemos a ^ 2 + ab-ab-b ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2, que es la diferencia de dos cuadrados. Usarás ambos.
puedes entender esto intuitivamente resolviendo geométricamente (dibuja un cuadrado con lados a + b):
entonces, ¿cómo encontramos a y b?
recuerda ax ^ 2 + bx + c?
encuentre un valor, llamémoslo O por conveniencia.
este método funciona para las cuadráticas monicas y no monicas; monic significa el coeficiente de x ^ 2, es decir, a, es 1, obviamente, nomonic, no es monic y a = / = 1
O = ac
b = m + n
mn = O
ahora míralo:
ax ^ 2 + mx + nx + c = ax ^ 2 + bx + c porque mx + nx = bx
gracias a los factores comunes (porque mn = ac)
podemos agrupar esto como (ax ^ 2 + mx) + (nx + c) y ahora podemos intentar encontrar factores comunes en cada par
llamemos a estos factores i y j (¡iron jay!) y a la otra cosa k (tiene mucho más sentido con valores reales, en papel) y obtenemos ix (x + k) + j (x + k) = nuestra cuadrática original = (ix + k) (x + k) así que lo hemos factorizado un poco
¡pero espera hay mas! antes de escribir sobre cómo completar el cuadrado y la fórmula cuadrática (para encontrar el valor o los valores de x (al principio luché con la idea de que x tiene múltiples valores; tiene sentido en un gráfico y los valores de x que necesitamos no son necesariamente todos valores de x (el dominio) pero los puntos donde llena la ecuación = 0 porque y = 0, y puede haber múltiples puntos en el gráfico donde esto ocurre)) Hablaré de otra cosa para intentar, para otras ecuaciones. Imagine una cuadrática donde sqrt (a) es un factor de b; por ejemplo, si tuviéramos 25x ^ 2 + 30x podríamos crear un valor y (para la ecuación no la gráfica) donde y = 5x y simplificar a y ^ 2 + 6y; podemos hacer esto para los suyos con y = 2x, obteniendo y ^ 2 + 2y + 3. Ahora es a) monic yb) bastante simplificado.
Ahora veamos cómo completar el cuadrado.
Primero, qué es y por qué, luego un resumen rápido de cómo usarlo.
¿Recuerdas que escribí sobre el uso de la geometría para esto y mostré esa bonita ilustración?
Convertiremos algo que no es así en algo así. Algo así como.
comenzamos con nuestro ax ^ 2 + bx + c = 0, por supuesto. Muevamos la a y hagámosla a (x ^ 2 + bx / a + c / a)
ignorar temporalmente el a
considera que ahora tienes un btw monic y el nuevo b es viejo b / a y el nuevo c es viejo c / a
También en el diagrama, las a están destinadas a ser x, pero cometí un error al dibujarlo.
aquí hemos bisecado b, así que en lugar de x ^ 2 + bx tenemos x ^ 2 + bx / 2 + bx / 2 que tiene el mismo valor pero permite algo especial … ahora se ve más o menos como el cuadrado perfecto.
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 y en nuestro ejemplo a es x y b es b / 2, entonces tenemos (x + b / 2) ^ 2 = x ^ 2 + bx + (b / 2) ^ 2
Ahora esto (b / 2) ^ 2 es nuevo; antes no formaba parte de la ecuación. Solo lo estamos usando para completar el cuadrado (de ahí el nombre) y como lo agregamos, tendremos que restarlo.
Ahora tenemos a (x ^ 2 + bx + c + (b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2) = 0 = a ((x + (b / 2)) ^ 2 + c- (b / 2 ) ^ 2)
podemos usar la diferencia de dos cuadrados para colocar el – (b / 2) ^ 2 y + c en esto.
podemos escribir nuestra ecuación como a (x + d) ^ 2 + e = 0 y obviamente d = b / 2a, y e = cd
que es lo mismo que nuestro otro lado pero parece un poco más limpio.
otra forma de encontrar es expandiendo (x + d) ^ 2 + e = 0 a x ^ 2 + 2dx + d ^ 2 + e y luego b = 2d entonces b / 2 = d (esto supone a = 1) y como c = d ^ 2 + e y sabemos d ^ 2 podemos encontrar e como cd ^ 2, que siempre fue.
Por cierto, con una solución = 0 (si no es una, mover las cosas para que sea una), podemos bloquear un agujero (aunque todavía deja una marca en byc)
Pasé mucho tiempo y el espacio de texto en algo en su mayoría obsoleto, pero mira esto:
Para una cuadrática dada y = ax ^ 2 + bx + c, el vértice (h, k) se encuentra calculando h = –b / 2a, y luego evaluando y en h para encontrar k.
El vértice de una parábola es el punto en el que cambia de dirección, el punto más bajo o más alto, dependiendo de a dónde va.
si mueve c / a al lado derecho contra su cuadrado perfecto y tendrá (x + h) ^ 2 = k
Ahora a la verdadera potencia de resolver rápidamente estas cosas: la fórmula cuadrática.
Tal vez algún día sabrás por qué cada parte está donde está, (por favor, si aún no lo has preguntado, pregunta esto en quora. Je, tal vez lo haré). Por ahora, comienza con el discriminante, llamado D o delta (así : Δ, también se utiliza para representar el cambio y algunas otras cosas, en general, un símbolo muy útil). el discriminante es igual a b ^ 2–4ac para un eje cuadrático ^ 2 + bx + c y nos dice cuántas ‘raíces’ reales (no complejas o imaginarias) existen para él (las raíces son los valores de x cuando y = 0). si es> 0, hay 2 raíces reales (como la que dibujé arriba, cruza el eje x (o la línea y = 0) dos veces. Si es 0, hay una raíz real, donde la gráfica golpea el eje x una vez y no cae debajo de él. Si está por debajo de 0 no hay raíces reales: no cruza el eje x.
la ecuación cuadrática nos dice las raíces: x = ((- b) MÁS O MENOS (misma respuesta si discriminante = 0) sqrt (b ^ 2–4ac)) / 2a
mirándolo veo cosas que tienen conexiones pero todavía no puedo ver las conexiones exactas desafortunadamente … aún podría reorganizarse para darnos la fórmula cuadrática.
recuerde: puede tener 2 raíces si el discriminante es> 0
notará el discriminante en la fórmula, y puede reescribirse, con Δ como discriminante, como ((-b) + – sqrt (Δ)) / 2a
Puede valer la pena simplemente memorizar esto de memoria (escribirlo, decirlo, leerlo, recordarlo, calcular con él, muchas veces), aunque no es una buena manera de aprender sobre filosofía o tomar decisiones políticas informadas, esto es muy efectivo para la memorización de la fuerza bruta de cosas útiles como los primeros 20 elementos de la tabla periódica, la fórmula cuadrática, ectetera. La mayoría de la gente ha olvidado cómo recordar, ¡vaya, me pregunto cómo eso dejará la sociedad!