Cómo encontrar ecuaciones paramétricas de líneas que pasan por los puntos [matemática] (3, -1, -3) [/ matemática] y perpendiculares a la línea que pasa por el punto [matemática] (3, -2,4) [/ matemática] & [matemáticas] (0,3,5) [/ matemáticas]

Answer 1

Sea P = (3, -1, -3), Q = (3, -2,4) y R = (0,3,5) sea ​​PL [matemático] \ perp [/ matemático] QR.

PL también es [matemática] \ perp [/ matemática] a [matemática] \ overline N [/ matemática], lo normal al plano que contiene P, Q y R.

[matemáticas] \ overline {PQ} = – \ hat j + 7 \ hat k; \ overline {QR} = – 3 \ hat i + 5 \ hat j + \ hat k [/ math]

[matemáticas] \ overline N = \ overline {PQ} \ times \ overline {QR} [/ math]

y [matemáticas] \ overline {PL} = \ overline {QR} \ times (\ overline {PQ} \ times \ overline {QR}) = (\ overline {QR}. \ overline {QR}) \ overline {PQ} – (\ overline {QR}. \ overline {PQ}) \ overline {QR} [/ math]

= [matemáticas] 6 \ hat i-45 \ hat j + 243 \ hat k [/ math]

Entonces la línea PL se puede representar por [math] 3 \ hat i- \ hat j-3 \ hat k + \ lambda (6 \ hat i-45 \ hat j + 243 \ hat k) [/ math] como un vector a lo largo Pl. como ecuación paramétrica

o [matemáticas] \ boxed {\ frac {x-3} {6} = \ frac {y + 1} {- 45} = \ frac {z + 3} {243} = \ lambda} [/ math]

Alternativamente

[matemáticas] \ overline {N} = \ begin {vmatrix} \ hat i & \ hat j & \ hat k \\ 0 & -1 & 7 \\ – 3 & 5 & 1 \ end {vmatrix} = – 36 \ hat i-21 \ hat j-3 \ hat k [/ math]

[matemáticas] \ overline {PL} = \ begin {vmatrix} \ hat i & \ hat j & \ hat k \\ – 3 & 5 & 1 \\ – 36 & -21 & -3 \ end {vmatrix} = 6 \ hat i-45 \ hat j +243 \ hat k [/ math]

Answer 2

⑴ Sea A = (3 ， -2，4)

B = (0,3,5)

AB = (- 3,5,1)

⑵ let (a, b, c) ⊥AB

(a, b, c). (- 3,5,1) = 0

3a + 5b + c = 0

dejar c = 0,

b = -3a / 5

dejar a = -5 / 3 →

b = 1

∴ un vector ⊥ AB es (-5 / 3,1,0) o (-5,3,0)

⑶ la ecuación requerida es:

r = (3, -1, -3) + λ (-5,3,0)

Answer 3

La pregunta pide la ecuación s para la línea s , así que voy a decir que las soluciones perpendiculares no necesariamente tienen que tocar la línea original. Son solo sus direcciones las que deben ser ortogonales.

Llamemos al punto [matemática] A = (3, -2,4) [/ matemática] y [matemática] B = (0,3,5), [/ matemática] para que nuestra línea de partida tenga un vector de dirección [matemática] D = (3, -2,4) – (0,3,5) = (3, -5, -1). [/ Matemáticas]

Llamemos a [math] P = (3, -1, -3). [/ Math] Las líneas perpendiculares que buscamos están parametrizadas [math] X = P + Vt, [/ math] donde [math] X = (x, y, z) [/ math] y [math] V = (p, q, r) [/ math] es un vector de dirección que es perpendicular a [math] D [/ math].

Como nuestras dos líneas son ortogonales, el producto de punto entre [matemáticas] D = (3, -5, -1) [/ matemáticas] y [matemáticas] V = (p, q, r), [/ matemáticas] nuestras dos direcciones , debe ser cero:

[matemáticas] 3p – 5q -r = 0 [/ matemáticas]

Realmente esa es la única ecuación que tenemos que satisfacer. [matemáticas] V [/ matemáticas] es un vector de dirección, por lo que la magnitud no importa, por lo que podemos reducir los grados de libertad en uno. Digamos arbitrariamente [matemáticas] q = 1 [/ matemáticas] y veamos qué sucede.

[matemáticas] r = 3p – 5 [/ matemáticas]

Este es un vector de dirección [matemática] V = (p, 1, 3p-5) [/ matemática] con un grado de libertad. El vector siempre debe ser ortogonal a [matemática] D [/ matemática]. Vamos a ver [matemáticas] V \ cdot D. [/ Matemáticas]

[Matemáticas] V \ cdot D = 3p -5 – (3p -5) = 0 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Entonces ahora tenemos un parámetro [math] p [/ math] que varía de los reales y nos da diferentes líneas perpendiculares a AB, y un parámetro [math] t [/ math] que nos permite generar los puntos en cada línea:

[matemáticas] X = P + Vt [/ matemáticas]

[matemáticas] (x, y, z) = (3, -1, -3) + t (p, 1, 3p-5) [/ matemáticas]