¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 (x) \, \ mathrm dx [/ math]?

Answer 1

Es [matemáticas] \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {4} \ sin (2x) + C [/ matemáticas].

El truco principal es recordar la siguiente ecuación, que aparece todo el tiempo en este tipo de problema:

[matemáticas] \ sin ^ 2 (x) = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) [/ matemáticas].

Usando esta ecuación,

[matemáticas] \ int \ sin ^ 2 (x) \, dx = \ int \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {2} \ int \ cos (2x) \, dx [/ matemáticas] (Integrando el primer término)

[matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {4} \ int \ cos (u) \, du [/ matemáticas] (Sustituyendo [matemáticas] u = 2x [/ matemáticas])

[matemáticas] = \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {4} \ sin (u) + C [/ matemáticas] (Integración)

[matemáticas] = \ frac {1} {2} x – \ frac {1} {4} \ sin (2x) + C [/ matemáticas] (Volviendo a nuestra variable original)

Y ya hemos terminado.

Answer 2

Probemos con un método diferente.

Considere un triángulo con base 1 y Y perpendicular

Por lo tanto (sen z) ^ 2 será:

(Y ^ 2) / (Y ^ 2 + 1) dy = 1 – 1 / (Y ^ 2 + 1) dy

Poner Y = iX

Dy = iDx

dy- 1 / (1-X ^ 2) dx

idx 1/1-X dx – 1/1 + X dx

Tras la integración, produce

iX- log (1-X ^ 2) + c

Y – log (1+ Y ^ 2) + c (Nuestra respuesta)

Donde (sen z) = Y / √ (Y ^ 2 +1)

(Cos z) = 1 / √ (Y ^ 2 + 1)

Tan z = Y

Answer 3

Gracias por la A2A

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 (x) \, dx [/ matemáticas]

Reescribe [math] \ sin ^ 2 (x) [/ math] como [math] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} \ cos (2x) \, dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int 1 \, dx- \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int \ cos (2x) \, dx [/ math]

Deje [math] u = 2x [/ math] y [math] du = 2dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {1} {2} \ displaystyle \ int 1 \, dx- \ frac {1} {4} \ displaystyle \ int \ cos (u) du [/ math]

[matemáticas] \ implica \ frac {x} {2} – \ frac {\ sin (u)} {4} + C [/ matemáticas]

Sustituir de nuevo

[matemáticas] \ implica \ frac {x} {2} – \ frac {\ sin (2x)} {4} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 (x) \, dx = \ frac {x} {2} – \ frac {\ sin (2x)} {4} + C [/ matemáticas]

Espero que esto haya ayudado 🙂

Answer 4

Primera nota que

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ 2 {x} = \ frac {1- \ cos (2x)} {2} [/ matemáticas]

Este es un principio general: las identidades de doble y medio ángulo se pueden usar para reescribir potencias trigonométricas.

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 {x} = \ frac {1} {2} \ int (1- \ cos (2x)) dx = \ frac {1} {2} x – \ frac {1 } {4} \ sin (2x) + C [/ matemáticas]

Answer 5

[matemáticas] I = [/ matemáticas] [matemáticas] \ int sin ^ 2 (x) dx ……… (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = [/ matemáticas] [matemáticas] \ int (1-cos ^ 2 (x)) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ int dx – \ int cos ^ 2 (x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = x + C_1 – \ int cos ^ 2 (x) dx ……… (2) [/ matemáticas]

de [matemáticas] (1) + (2) [/ matemáticas],

[matemáticas] 2I = x + C_1 – \ int (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x)) dx = x – \ int cos (2x) dx + C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 2I = x – \ frac {sin (2x)} {2} + C_1 + C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ frac {x} {2} – \ frac {sin (2x)} {4} + C, [/ matemáticas]

con [matemáticas] C = C_1 + C_2. [/ matemáticas]

Answer 6

Esto está en la tabla integral, entonces Int [(sen ^ 2) xdx = x / 2 – 1/4 (sen (2x). ¿Cuál es el intervalo?

sen (2x) = 2sen (x) .cos (x) = x / 2 -1/2 (sen (x) .cos (x) = x – sen (x) .cos (x)

Answer 7

[math] \ displaystyle \ int (\ sin (x)) ^ x \, dx [/ math] no tiene representación en términos de funciones matemáticas estándar.

Wolfram Alpha nos dice que la expansión de la serie para esta integral es

[matemáticas] \ displaystyle \ int (\ sin (x)) ^ x \, dx = x + \ frac {1} {4} x ^ 2 \ left (2 \ log (x) -1 \ right) + \ frac {1} {54} x ^ 3 \ left (9 (\ log x) ^ 2 – 6 \ log x + 2 \ right) + \ frac {1} {768} x ^ 4 \ left (32 (\ log x ) ^ 3-24 (\ log x) ^ 2 + 12 \ log x-35 \ right) + \ cdots [/ math]

EDITAR: Me ha llamado la atención que el OP tenía la intención de pedir la integral definida de [math] \ sin ^ 2 x [/ math], en cuyo caso la sustitución [math] \ sin ^ 2 x = \ displaystyle \ se usaría frac {1- \ cos 2x} {2} [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1- \ cos 2x} {2} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {1} {2} \ left (x- \ frac {\ sin 2x} {2} \ right) + C [/ math]

Usando [math] \ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 x \, dx = \ frac {1} {2} (x – \ sin x \ cos x) + C [/ matemáticas]

Answer 8

Para encontrar la integral de sin ^ 2 (x), que es una función circular en una variable x.

Deje que el valor de la integral se denota por I.

Como, cos2x = cos ^ 2 (x) – sin ^ 2 (x) y cos ^ 2 (x) = 1-sin ^ 2 (x),

cos2x = 1-sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 1–2sin ^ 2 (x) y, por lo tanto, por transposición, obtenemos

sen ^ 2 (x) = (1-cos2x) / 2 = 1/2 – (1/2) cos2x

Por lo tanto, I = integral de sin ^ 2 (x) .dx = integral de [1/2 – (1/2) cos2x] .dx

Como la operación de integración es distributiva,

I = integral de (1/2) dx – integral de (1/2) cos2x dx = x / 2 – (1/2) integral de cos2x dx

= x / 2 – (1/2) (sin2x) / 2 + C

= x / 2 – (1/4) sin2x + C (Respuesta)

Aquí, C es la constante de integración.

Answer 9

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 \, x dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {1- \ cos \, 2x} {2} dx \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ left \ {\ because \ sin ^ 2 \, x = \ dfrac {1- \ cos \, 2x} {2} \ right \} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2} dx- \ dfrac {1} {2} \ int \ cos \, 2x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} x- \ dfrac {1} {4} \ displaystyle \ int \ cos \, 2x \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} x- \ dfrac {1} {4} \ sin \, 2x + C [/ matemáticas]

Answer 10

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 (x) \, \ mathrm dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int \ frac {1- \ cos (2x)} 2 \, \ mathrm dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int \ frac 12 \, \ mathrm dx- \ frac 12 \ int \ cos (2x) \, \ mathrm dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac 12x- \ frac 14 \ int \ cos (2x) \, \ mathrm d (2x) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac 12x- \ frac 14 \ sin (2x) + C [/ matemáticas]

¡Hecho! ✔

Aquí está la explicación: la respuesta de Dominic Shum a Tenemos una regla de cadena en la diferenciación. ¿Existe una regla similar en la integración?

Answer 11

* A2A

Recordar que

[matemáticas] \ cos 2x = \ cos ^ 2 x- \ sin ^ 2 x = 1–2 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 2 x-1 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ 2 x \, dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {2} (1- \ cos 2x) \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} x- \ dfrac {1} {4} \ sen 2x + C [/ matemáticas]

Answer 12

[math] \ int sin ^ 2x \, dx [/ math] es un caso especial de [math] \ int sin ^ nx \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int sin ^ nx \, dx = \ frac {n-1} {n} \ int sin ^ {n-2} x \, dx- \ frac {cosxsin ^ {n-1} x} {n} + C [/ matemáticas]

Dado n = 2:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ int1 \, dx- \ frac {cosxsinx} {2} + C [/ matemáticas]

desde [math] \ int1 \, dx = x [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int sin ^ 2x \, dx = \ frac {x} {2} – \ frac {cosxsinx} {2} + C [/ matemáticas]

Simplificando:

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {x} {2} – \ frac {sin2x} {2 * 2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2x-sin2x} {4} + C [/ matemáticas]

Answer 13

ingrese su fórmula

sin (x) ^ 2

en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón de integración para la solución.

manual de referencia matemática http://www.mathHandbook.com

Answer 14

hola este video es para que entiendas mejor su integración

Answer 15

Tu pregunta no tiene sentido.

Answer 16

Answer 17

Use la fórmula: cos (2x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ (x) para obtener: sin ^ 2 (x) = 0,5–0,5cos (2x).

Entonces la integral se convierte en 0,5x-0,25sin (2x) + c.

Answer 18

cambie sen ^ 2 (x) a (1-cos (2x)) / 2. ¿Sabes la respuesta ahora?

Answer 19

cos2x = 1-2sin²x

2sin²x = 1- cos2x

2∫sin²x dx = ∫1 dx-∫cos2xdx

2∫sin²xdx = x-½sin2x + C

∫sin²x dx = ½x-¼sin2x + C = ¼ (2x + sin2x) + C