Si un problema verbal solo le da la intersección y, la intersección xy el valor óptimo, ¿es esta información suficiente para encontrar la ecuación de la parábola?

Answer 1

No. Como ejemplo, su problema tiene dos soluciones.

Suponiendo que se refiere a una parábola orientada hacia arriba y hacia abajo, la ecuación es:

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

Solo tenemos que encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas].

Dado el punto [matemáticas] (0,5) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] c = 5 [/ matemáticas]

Y ahora podemos considerar la ecuación como:

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + 5 [/ matemáticas]

Al poner [matemáticas] (5,0) [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] 25a + 5b + 5 = 0 [/ matemáticas].

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El vértice de la parábola está en [matemáticas] x = -b / 2a [/ matemáticas]. Se nos da que en este punto, el valor es [math] 9 [/ math]. Al conectar esto a la ecuación,

[matemática] 9 = a \ left (\ frac {-b} {2a} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {-b} {2a} \ right) x + 5 [/ math]

[matemáticas] 16a = -b ^ 2. [/ matemáticas]

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Resolviendo el sistema:

[matemáticas] 16a = – b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 25a + 5b + 5 = 0 [/ matemáticas]

Hay dos soluciones:

[matemáticas] a = -1 [/ matemáticas], [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas] y

[matemáticas] a = -0.04 [/ matemáticas], [matemáticas] b = -0.8 [/ matemáticas]

Estos corresponden a las parábolas anteriores.

Answer 2

No tienes suficiente información.

En primer lugar, determine si la curva se abre hacia arriba o hacia abajo. y puede tomar el valor de 0,5, que es menor que el valor óptimo. Entonces, esta curva tiene un máximo, lo que significa que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es negativo.

Desde el vértice, tenemos

[matemáticas] y = -a (xh) ^ 2 + 9 [/ matemáticas]

Desde la intersección x,

[matemáticas] 0 = -a (5-h) ^ 2 + 9 [/ matemáticas]

Desde la intersección y,

[matemáticas] 5 = -a (0-h) ^ 2 + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] -a [h ^ 2- (5-h) ^ 2] = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] -a (10h-25) = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] -a (2h-5) = 1 [/ matemáticas]

Como [matemática] a> 0 [/ matemática], [matemática] 2h-5 <0 [/ matemática]

Entonces [matemáticas] h <2.5 [/ matemáticas]

Estas son las únicas condiciones. Puede crear otra parábola según las condiciones anteriores.

Answer 3

Estoy haciendo lo que hago, así que tengan paciencia conmigo. Y-int significa que es y = ax ^ 2 + bx + 5. X-int, así que usa la forma de vértice. Y = a (x) (x-5) + 5. Si necesita resolver para x, podría ser x = ay (y-5) +5. (Cambiar h & k no importa). Ahora, conecta 9 a y, muuuy, ¿no? No puedes usar directrix y vertex, así que estoy perplejo. ¡Buena suerte!

Answer 4

Tenemos dos intersecciones [matemáticas] (\ color {verde} {0}, \ color {verde} {5}) [/ matemáticas], [matemáticas] (\ color {azul} {5}, \ color {azul} { 0}) [/ math] y la parte superior [math] (\ color {red} {x _ {\ text {top}}}, \ color {red} {9}) [/ math], de donde debemos derivar un función cuadrática [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática].

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[math] c [/ math] es obviamente la intersección en y, entonces [math] c = \ color {green} {5} [/ math]

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[math] a [/ math] se puede encontrar expresando las dos intersecciones como coordenadas relativas al pico:

[matemáticas] \ left \ {\ begin {matrix} a (\ color {green} {0} – \ color {red} {x _ {\ text {top}}}) ^ 2 & = (\ color {green} { 5} – \ color {rojo} {9}) \\ a (\ color {azul} {5} – \ color {rojo} {x _ {\ text {top}}}) ^ 2 & = (\ color {azul } {0} – \ color {rojo} {9}) \ end {matriz} \ right \} [/ math]

La solución obvia, por supuesto, cuando la parte superior está entre esos pares de coordenadas, y luego [math] \ color {red} {x _ {\ text {top}, 1}} = 2 [/ math], con [math] a_1 = – 1 [/ matemáticas].

En la otra solución, la parte superior está a la izquierda de estos dos puntos, siendo [math] \ color {red} {x _ {\ text {top}, 2}} = -10 [/ math] con [math] a_2 = – \ frac1 {25} [/ matemáticas]

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[math] b [/ math] se encuentra por [math] f (\ color {blue} {5}) = \ color {blue} {0} \ implica a \ color {blue} {5} ^ 2 + b \ color {azul} {5} + \ color {verde} {5} = \ color {azul} {0} \ implica b = – (5a + 1) [/ matemáticas]

que para las dos ecuaciones da:

• [matemáticas] b_1 = 4 [/ matemáticas] y luego [matemáticas] f_1 (x) = -x ^ 2 + 4x + 5 [/ matemáticas]
• [matemáticas] b_2 = – \ frac45 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_2 (x) = – \ frac1 {25} x ^ 2 – \ frac45 x + 5 [/ matemáticas]

Answer 5

No hay suficiente información a menos que se pueda suponer un ángulo particular para el eje de simetría.

Suponga que el eje de simetría es paralelo al eje y. Entonces la ecuación de la parábola se puede escribir en la forma simplificada [math] y = ax ^ 2 + bx + c [/ math].

Sustituya la intersección [matemática] y [/ matemática] para obtener [matemática] c = 5 [/ matemática].

Sustituya [matemática] c = 5 [/ matemática] y la intercepción [matemática] x [/ matemática] para obtener

[matemáticas] 0 = 25a + 5b + 5 [/ matemáticas], o [matemáticas] b = -5a-1 [/ matemáticas].

Ahora tenemos que usar un pequeño cálculo. En el extremo, [matemáticas] 0 = \ frac {dy} {dx} = 2a x + b = 2a x-5a-1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, el extremo se produce en [matemáticas] x = \ frac {5a + 1} {2a} [/ matemáticas]. Se nos da que [matemáticas] y = 9 [/ matemáticas] en ese punto. A partir de eso tenemos una ecuación cuadrática en [matemática] a [/ matemática], cuyas raíces nos dan dos valores posibles para [matemática] a [/ matemática].

Trevor Cheung ya ha mostrado cómo determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, brindándonos suficiente información para seleccionar la raíz correcta. Habiendo determinado [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], podemos escribir una ecuación única para la parábola.