Cómo probar [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {k ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Answer 1

Una vez, mi maestro me mostró una prueba usando análisis complejos:

Estaba usando el teorema de residuos [matemática] \ int_Cf (z) \, dz = 2 \ pi i \ sum_ {w \ in \ Omega} \ text {Res} (f, w) [/ math] donde la curva [matemática ] C [/ math] limita adecuadamente la región [math] \ Omega [/ math]

Consideremos la función [matemáticas] f (z) = \ frac1 {z ^ 2 \ sin (\ pi z)} [/ matemáticas]

[math] n \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} [/ math] luego [math] f [/ math] tiene un polo simple en [math] n [/ math] con residuo [math] \ frac {(- 1) ^ n} {\ pi n ^ 2} [/ math]

(polo de orden [matemática] 3 [/ matemática] en [matemática] 0) [/ matemática]

Deje [math] C_N [/ math] ser el contorno cerrado que limita un rectángulo cuyos límites son [math] x = \ pm \ left (N + \ frac12 \ right) [/ math] y [math] y = \ pm N [/ matemáticas]

La secuencia de contornos [matemática] C_N [/ matemática] se divide a mitad de camino entre los polos. A partir de eso, el factor [math] \ frac1 {z ^ 2} [/ math] hace que la contribución de los lados verticales de la caja se reduzca como [math] N \ to \ infty [/ math] y la contribución de la horizontal lados va rápidamente a cero.

Por lo tanto:

[matemáticas] \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {| w | \ le N} \ text {Res} (f, w) = 2 \ pi i \ lim_ {N \ to \ infty} \ int_ {C_N } f (z) \, dz = 0 [/ matemáticas]

Como se indicó anteriormente, [math] f [/ math] tiene un polo simple en [math] \ pm n [/ math] con residuo [math] [/ math] [math] \ frac {(- 1) ^ n} { \ pi n ^ 2} [/ matemáticas]

Obtenemos el residuo en cero por división larga:

[matemáticas] \ frac1 {z ^ 2 \ sin \ pi z} = \ frac1 {\ pi z ^ 3- \ frac {\ pi ^ 3z ^ 5} 6 + O (z ^ 7)} = \ frac1 {\ pi } z ^ {- 3} + \ frac {\ pi} 6z ^ {- 1} + O (z ^ {- 3}) [/ matemáticas]

Por lo tanto, el residuo en cero es [matemática] \ frac {\ pi} {6} [/ matemática] (el coeficiente del término [matemática] \ frac {1} {z} [/ matemática])

Esto nos da que [matemáticas] \ lim_ {N \ to \ infty} \ frac {\ pi} 6+ \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {(- 1) ^ n} {\ pi n ^ 2} + \ sum_ {n = -N} ^ {- 1} \ frac {(- 1) ^ n} {\ pi n ^ 2} = 0 [/ matemática]

Eso es: [matemáticas] 2 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {\ pi n ^ 2} + \ frac {\ pi} 6 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} = \ frac {- \ pi ^ 2} {12} [/ matemáticas]

Ahora suponga que [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n ^ 2} = A [/ math]. Entonces [math] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac 1 {(2k) ^ 2} = \ frac {A} {4} [/ math]

[matemáticas] 2 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac 1 {(2k) ^ 2} – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac1 {n ^ 2} [/ math]

[matemática] = 2 \ left (\ frac14 + \ frac1 {16} + \ cdots \ right) – \ left (1+ \ frac14 + \ frac19 + \ frac1 {16} + \ cdots \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} = \ frac {2A} 4-A = – \ frac A2 [/ matemáticas]

Entonces [matemática] – \ frac A2 = – \ frac {\ pi ^ 2} {12} [/ matemática] y finalmente [matemática] A = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemática]

¡Recuerdo cómo esta prueba me parece “un truco de magia” cuando la vi por primera vez! Espero que lo disfrutes 🙂

Answer 2

Yo diría que evaluar [math] \ zeta (2) [/ math] usando la serie Fourier o la fórmula de producto seno de Euler son las pruebas más sobrevaloradas . No me malinterpreten, son excelentes pruebas, pero se mencionan en casi todas partes. Como entusiasta integral, diría que la prueba de Apostol es una de las pruebas más subestimadas pero muy carismática.

Observa eso,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {1-xy} \, dy \, dx & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ sum_ {n = 0 } ^ {\ infty} (xy) ^ n \, dy \, dx \, \, \, \, (\ text {Since} | xy | <1) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} \ int_ {0} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1} x ^ ny ^ n \, dy \, dx \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(n + 1) ^ 2} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ 2} \\ & = \ zeta (2) \ end {align} \ etiqueta * {} [/ math]

Ahora vamos a evaluar la integral por separado. Dejar,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {1-xy} \, dy \, dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Este es un problema clásico, y generalmente se ilustra cuando Jacobian se introduce por primera vez en las clases de cálculo.

Sustituiremos [matemáticas] x = u – v [/ matemáticas] y [matemáticas] y = u + v [/ matemáticas] para observar el jacobiano como:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} J & = \ begin {vmatrix} \ dfrac {\ partial x} {\ partial u} & \ dfrac {\ partial x} {\ partial v} \\\ dfrac {\ partial y} {\ partial u} & \ dfrac {\ partial y} {\ partial v} \ end {vmatrix} \\ & = \ begin {vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {vmatrix} = 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

También como [math] (u, v) \ equiv \ left (\ dfrac {x + y} {2}, \ dfrac {yx} {2} \ right) [/ math] los puntos de esquina de nuestra nueva región rectangular identificarse como:

[matemáticas] (0,0), \ left (\ dfrac {1} {2}, \ dfrac {1} {2} \ right), (1,0), \ left (\ dfrac {1} {2} , \ dfrac {-1} {2} \ right) [/ math]

Usando Desmos, trazo esta región que se identifica como la gráfica de [matemáticas] | x-0.5 | + | y ​​| = 0.5 [/ matemáticas]

Usando el argumento de simetría (Región completa cubierta = Dos veces la región superior) escribimos la integral transformada como,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} I & = 4 \ int_ {0} ^ {1/2} \ int_ {0} ^ {u} \ dfrac {dv \, du} {1-u ^ 2 + v ^ 2} + 4 \ int_ {1/2} ^ {1} \ int_ {0} ^ {1-u} \ dfrac {dv \, du} {1-u ^ 2 + v ^ 2} \\ & = 4 \ int_ {0} ^ {1/2} \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \ right)} {\ sqrt {1-u ^ 2} } du + 4 \ int_ {1/2} ^ {1} \ dfrac {\ arctan \ left (\ frac {1-u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \ right)} {\ sqrt {1 -u ^ 2}} du \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Ahora casi hemos terminado. Solo observa eso

• [matemáticas] \ arctan \ left (\ frac {u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \ right) = \ arcsin u [/ math]
• [matemáticas] \ arctan \ left (\ frac {1-u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \ right) = \ dfrac {\ pi} {4} – \ dfrac {\ arcsin u} {2} [/matemáticas]

Esto se puede mostrar fácilmente mediante alguna manipulación trigonométrica. De ahí que nuestra integral se convierta,

[matemáticas] \ displaystyle I = 4 \ int_ {0} ^ {1/2} \ dfrac {\ arcsin u} {\ sqrt {1-u ^ 2}} du + 4 \ int_ {1/2} ^ {1 } \ dfrac {\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ arcsin u} {2}} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \, du \ tag * {} [/ math]

Sustituye [math] \ arcsin u = t [/ math] y el juego ha terminado,

[matemáticas] I = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Usando un método de Beukers, Calabi y Kolk adaptado por Silagadze en este artículo, usaré una integral similar a la de Aadit. La primera vez que vi esto en MSE.

Para una versión con mejor formato, vea mi página wiki aquí.

En realidad, voy a evaluar la suma [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} (2k + 1) ^ {- 2} [/ matemáticas] primero. No es demasiado difícil relacionar esto con nuestra suma original ya que,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} k ^ {- 2} = \ sum_ {k \ ge 1} (2k) ^ {- 2} + \ sum_ {k \ ge 0} (2k + 1) {-2} = \ frac 1 4 \ sum_ {k \ ge 1} k ^ {- 2} + \ sum_ {k \ ge 0} (2k + 1) ^ {- 2} \ implica \ sum_ {k \ ge 1} k ^ {- 2} = \ frac 4 3 \ sum_ {k \ ge 0} (2k + 1) ^ {- 2} [/ matemática]

Considere eso,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 0} \ frac 1 {(2k + 1) ^ 2} = \ sum_ {k \ ge 0} \ frac 1 {(2k + 1) (2k + 1)} [ /matemáticas]

Tiempo para un paso exagerado,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 0} \ frac 1 {(2k + 1) (2k + 1)} = \ sum_ {k \ ge 0} \ int_0 ^ 1 x ^ {2k} \ mathrm dx \ int_0 ^ 1 y ^ {2k} \ mathrm dy [/ math]

Podemos complicar estos,

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k \ ge 0} \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 (xy) ^ {2k} \ mathrm dx \ mathrm dy [/ math]

Podemos intercambiar la suma y la integral,

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ sum_ {k \ ge 0} (xy) ^ {2k} \ mathrm dx \ mathrm dy [/ math]

Por la suma de una serie geométrica,

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ frac 1 {1-x ^ 2y ^ 2} \ mathrm dx \ mathrm dy [/ math]

Ahora sacamos el hermoso mapeo de sustitución a un simple triángulo isósceles. Realmente no entiendo su derivación de esta sustitución todavía, vea el documento original tal vez si está interesado. Hacemos la sustitución,

[matemáticas] \ displaystyle (x, y) \ mapsto \ left (\ frac {\ sin u} {\ cos v}, \ frac {\ sin v} {\ cos u} \ right) [/ math]

El jacobiano para esta transformación es,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (u, v)} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial u} & \ frac {\ partial x } {\ partial v} \\ \ frac {\ partial y} {\ partial u} & \ frac {\ partial y} {\ partial v} \ end {bmatrix} [/ math]

El determinante de esta matriz esencialmente da el factor de escala entre nuestra región [matemáticas] [0,1] ^ 2 [/ matemáticas] y la imagen bajo nuestra transformación.

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ vert \ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (u, v)} \ right \ vert = \ frac {\ partial x} {\ partial u} \ frac {\ parcial y} {\ partial v} – \ frac {\ partial x} {\ partial v} \ frac {\ partial y} {\ partial u} [/ math]

Nuestras derivadas parciales son,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial x} {\ partial u} = \ frac {\ cos u} {\ cos v} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial x} {\ partial v} = \ sin (u) \ tan (v) \ sec (v) = \ frac {\ sin (u) \ sin (v)} {\ cos ^ 2 (v)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial y} {\ partial u} = \ sin (v) \ tan (u) \ sec (u) = \ frac {\ sin (v) \ sin (u)} {\ cos ^ 2 (u)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial y} {\ partial v} = \ frac {\ cos (v)} {\ cos (u)} [/ math]

Nuestro det es por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ vert \ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (u, v)} \ right \ vert = \ frac {\ cos u} {\ cos v} \ cdot \ frac {\ cos (v)} {\ cos (u)} – \ frac {\ sin (u) \ sin (v)} {\ cos ^ 2 (v)} \ cdot \ frac {\ sin (v) \ sin (u)} {\ cos ^ 2 (u)} = 1 – \ tan ^ 2 (u) \ tan ^ 2 (v) = 1 – x ^ 2y ^ 2 [/ math]

Denote la imagen de [matemática] [0,1] ^ 2 [/ matemática] bajo esta transformación [matemática] A [/ matemática]. Ahora tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} k ^ {- 2} = \ frac 4 3 \ int_A \ frac {1-x ^ 2y ^ 2} {1-x ^ 2y ^ 2} \ mathrm dx \ mathrm dy = \ frac 4 3 \ iint_A \ mathrm dx \ mathrm dy [/ math]

Ahora solo queda determinar cuál es la región [matemáticas] A [/ matemáticas]. Puede usar su calculadora gráfica favorita para esto.

La región [matemáticas] [0,1] ^ 2 [/ matemáticas] es el cuadrado de la unidad en el plano cartesiano,

Observe que las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​siempre positivas. Esto significa que [math] u [/ math] y [math] v [/ math] siempre deben ser positivas, porque [math] \ sin [/ math] es impar. Como el valor máximo que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] pueden tomar es 1, también debemos tener [math] \ cos (u) \ ge \ sin (v) [/ math] y [matemáticas] \ cos (v) \ ge \ sin (u) [/ matemáticas]. Con esas restricciones, obtenemos esta colorida región.

La región encerrada en un triángulo isocoles de base / altura [matemática] \ frac \ pi 2 [/ matemática], lo que significa que su área es [matemática] \ frac 1 2 \ cdot b \ cdot h = \ frac 1 2 \ cdot \ frac \ pi 2 \ frac \ pi 2 = \ frac {\ pi ^ 2} 8 [/ math].

Para obtener nuestra suma, recuerde que debemos multiplicar esto por [math] \ frac 4 3 [/ math],

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac 1 {k ^ 2} = \ frac 4 3 \ cdot \ frac {\ pi ^ 2} 8 = \ frac {\ pi ^ 2} 6 \ cuadrado negro [/ matemáticas]

Answer 4

Hay muchas formas de hacer esta prueba. El más interesante para mí es usar el análisis armónico de la función [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas].

Cualquier función analítica en un intervalo puede desglosarse en las funciones periódicas en ese intervalo: en particular, que la función [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas] de [matemáticas] – \ pi [/ matemáticas] a [math] \ pi [/ math] se puede escribir como

[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos nx [/ math]

para algún conjunto de [math] a_n. [/ math]

Recordando que [math] \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} dx \ cos nx \ cos n’x [/ math] desaparece si [math] n ‘\ ne n [/ math] (y da [math] 2 \ pi [/ math] de lo contrario), podemos identificar las amplitudes a través de la integral

[matemáticas] a_n = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ \ pi f (x) \ cos nx dx [/ matemáticas].

La integral no es difícil de hacer (integrar por partes dos veces); obtienes para [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] a_n = 2 \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} [/ matemática] para [matemática] n \ ne 0 [/ matemática] y [matemática] a_0 = \ frac {\ pi ^ 2 } {3} [/ matemáticas]

Ahora tenemos (dividiendo la suma para tener en cuenta el hecho de que [math] a_0 [/ math] es especial)

[matemáticas] f (x) = \ frac {\ pi ^ 2} {3} + \ sum_ {n = – \ infty} ^ {- 1} 2 \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} \ cos nx + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2 \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} \ cos nx [/ math].

Al elegir [matemáticas] x = \ pi [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ pi ^ 2 = f (\ pi) = \ frac {\ pi ^ 2} {3} + \ sum_ {n = – \ infty} ^ {- 1} 2 \ frac {(- 1) ^ n } {n ^ 2} (-1) ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2 \ frac {(- 1) ^ n} {n ^ 2} (-1) ^ n [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ pi ^ 2} {3} + 2 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2 \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {3} + 4 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} [/ math]

Aislando la suma, obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6}. [/ matemáticas]

Esto es interesante porque es fácilmente generalizable para otras sumas de la forma [math] \ sum_n \ frac {1} {n ^ p} [/ math] incluso para [math] p. [/ math] Incluso las funciones de [math] x [/ math] siempre se pueden dividir en cosenos, y esperamos del principio de incertidumbre que [math] x \ rightarrow \ frac {1} {n} [/ math] bajo la transformada armónica, módulo un orden 1 constante.

Answer 5

Este problema se llama Besel Problema resuelto por Leonhard Euler en 1734.

Esto se puede resolver fácilmente utilizando la identidad de Parseval de la serie Fourier.

let, f (x) = x, – π

Como sabemos

Por lo tanto,

Answer 6

mediante el uso de la función zeta (x), cambiar

suma (1 / k ^ 2) a zeta (2),

entonces zeta (2) = pi ^ 2/6

ingrese su fórmula en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón de suma para la solución,

referencia en http://mathhandbook.com

Answer 7

Answer 8

Puede encontrar varias pruebas aquí: problema de Basilea – Wikipedia y la exposición es bastante clara.