¿Cómo se puede demostrar que los grupos de orden [matemática] p ^ n [/ matemática] (para [matemática] p [/ matemática] primo y [matemática] n> 0) [/ matemática] tienen solución?

Answer 1

Si se le pide que pruebe esto como un ejercicio, lo más probable es que ya sepa lo siguiente:

Lema : un grupo finito [matemático] p [/ matemático] tiene un centro no trivial.

Para un grupo [matemática] G [/ matemática], el centro [matemática] Z (G) [/ matemática] es el conjunto de todos los elementos que conmutan con todo. La identidad [matemáticas] 1_G [/ matemáticas] siempre está en el centro, pero para algunos grupos, eso es todo: tienen un centro trivial. Un grupo tiene un centro no trivial si hay otros elementos que tengan la amabilidad de conmutar con todo lo demás.

La prueba del lema es breve, suponiendo que conozca los hechos básicos sobre las clases de conjugación. Cada grupo se puede dividir en clases de conjugación (dos elementos están en la misma clase si están conjugados), y el tamaño de una clase de conjugación divide el tamaño del grupo. Los elementos en el centro se caracterizan por estar solos en su clase de conjugación. Ahora compruebe cuántas clases pueden tener el tamaño [math] 1 [/ math] en un grupo [math] p [/ math].

Usando el lema, puede probar que los grupos [math] p [/ math] se pueden resolver (de hecho, nilpotentes) por inducción. El centro es siempre un subgrupo normal abeliano, por lo que [math] G [/ math] tiene una serie normal [math] 1 <Z \ leq G [/ math]. Por inducción, [math] G / Z [/ math] es en sí mismo solucionable (un cociente de un [math] p [/ math] -group es en sí un [math] p [/ math] -group), y usted debería ser capaz de completar el argumento desde aquí.