Cómo usar la definición de continuidad épsilon-delta para demostrar que [math] f (x) = | x | [/ math] es continua

Answer 1

Esta prueba es realmente bastante simple, una vez que tienes la desigualdad correcta a la mano.

¡Os presento la ilustre desigualdad del triángulo inverso!

Recuerde que la desigualdad del triángulo establece que para cualquier [matemática] a [/ matemática], [matemática] b \ in \ mathbb {R} [/ matemática], tenemos que [matemática] | a + b | [/ matemática] [ matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | a | [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] | b | [/ matemática]. Para los no iniciados, esto parece un resultado bastante mundano; sin embargo, la desigualdad del triángulo resulta ser una de las desigualdades más importantes en el análisis real.

De esta desigualdad, podemos derivar una desigualdad similar. Arregle [math] a [/ math], [math] b \ in \ mathbb {R} [/ math]. Entonces, a partir de la desigualdad del triángulo, tenemos que

[matemáticas] | a + b | [/ matemáticas] [matemáticas] \ leq [/ matemáticas] [matemáticas] | a | [/ matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] | b | [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [math] | a | [/ math] [math] = [/ math] [math] | a – b + b | [/ math]. Por lo tanto,

[matemática] | a + b | [/ matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | a – b + b | [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] | b | [ / matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | a – b | [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] 2 | b | [/ matemática].

Esto implica que:

[matemáticas] | a + b | [/ matemáticas] [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] 2 | b | [/ matemáticas] [matemáticas] \ leq [/ matemáticas] [matemáticas] | a – b | [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que podemos repetir todo este argumento para obtener el resultado de que [matemática] | a + b | [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] 2 | a | [/ matemática] [matemática] \ leq [ / matemáticas] [matemáticas] | a – b | [/ matemáticas]. Si dejamos que [matemática] x [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] a + b [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] a – b [/ math], luego [math] b [/ math] [math] = [/ math] [math] \ frac {x – y} {2} [/ math]. La desigualdad se convierte en [matemáticas] | x | [/ matemáticas] [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] | [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {x – y} {2} | [/ matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | y | [/ matemática] que implica que [matemática] | x | [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] | y | [/ matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | x – y | [/ matemática]. Podemos invertir [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], por lo que la desigualdad se convierte en [matemática] || x | – | y || [/ matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | x – y | [/ matemática].

Uf. Ahora que hemos demostrado la desigualdad del triángulo inverso, la usaré para dar una prueba rápida del hecho de que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] | x | [/ math] es continuo.

Lema: La función [math] f: \ mathbb {R} \ to [/ math] [math] \ mathbb {R} [/ math] dada por [math] f (x) [/ math] [math] = [ / math] [math] x [/ math] es continuo.

Prueba: Fijar [matemática] \ varepsilon [/ matemática] [matemática]> [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática]. Ahora deje que [math] \ delta [/ math] [math] = [/ math] [math] \ varepsilon [/ math]. Entonces, si [math] s [/ math], [math] t [/ math] [math] \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] | s – t | [/ math] [math] <[/ math] [math] \ delta [/ math] luego [math] | f (s) – f (t) | [/ math] [math] = [/ math] [math] | s – t | [ / matemática] [matemática] <[/ matemática] [matemática] \ delta [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ varepsilon [/ matemática]. QED

Ahora demostraré que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] | x | [/ matemáticas] es continuo.

Prueba: Corregir [matemática] \ varepsilon [/ matemática] [matemática]> [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] y dejar que [matemática] g (x) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [ matemáticas] x [/ matemáticas]. Del lema, tenemos que [matemática] \ existe [/ matemática] [matemática] \ delta [/ matemática] [matemática]> [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] tal que [matemática] | s – t | [/ matemática] [matemática] <[/ matemática] [matemática] \ delta [/ matemática] implica que [matemática] | g (s) – g (t) | [/ matemática] [matemática] <[/ matemática] [matemáticas] \ varepsilon [/ matemáticas]. Desde la desigualdad del triángulo inverso, [matemática] | f (s) – f (t) | [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] || g (s) | – | g (t) || [/ matemática] [matemática] \ leq [/ matemática] [matemática] | g (s) – g (t) | [/ matemática] [matemática] <[/ matemática] [matemática] \ varepsilon [/ math], completando la prueba. QED

Answer 2

Puede elegir [matemáticas] \ delta = \ epsilon [/ matemáticas]

Entonces obtienes [matemáticas] | xy | <\ delta \ Rightarrow || x | - | y || <\ epsilon [/ math]

Entonces tienes continuidad.

Answer 3

f (x) = | x |, por lo tanto f (x) = – x para x <0 yf (x) = x para x> = 0

Intente probar que el límite anterior de f (x) = x en x = 0 es el mismo que el límite inferior de f (x) = x en x = 0. Dado que x = 0 es el coordinado donde f (x) va de -x a x, este es el coordinado donde desea comprobar la continuidad, ya que es obvio que f (x) es continuo para cada valor de x.

El límite anterior de f (x) en x = 0 es igual a f (0) = 0. Entonces solo necesita probar el límite inferior de f (x) = – x tomando delta = -epsilon.