Entre muchos otros, [matemática] x = \ frac {\ pi} {6} [/ matemática] es un contraejemplo, ya que, en este caso, [matemática] \ sin \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} [/ math], y así, [math] \ frac {1} {\ sin \ left (x \ right)} = \ frac {1} {\ left (\ frac {1} {2} \ right )} = 2 [/ math], haciendo que [math] \ sin (x) [/ math] no sea igual a [math] \ frac {1} {\ sin (x)} [/ math].
No es sorprendente que una [matemática] x [/ matemática] elegida arbitrariamente sea un contraejemplo. Después de todo, [matemáticas] | \ sin (x) | \ leq 1 [/ math], que hace que [math] \ left | \ frac {1} {\ sin (x)} \ right | \ geq 1 [/ math], y para la mayoría de [math] x [/ math], estas desigualdades son estrictas, por lo que casi no hay superposición entre los rangos de [math] \ sin (x) [/ math] y [math ] \ frac {1} {\ sin (x)} [/ math].
De hecho, cualquier valor real de [math] x [/ math] excepto un múltiplo impar de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math] es un contraejemplo, porque si [math] sin (x) = \ frac {1} {\ sin (x)} [/ math], luego [math] \ sin ^ 2 (x) = 1 [/ math], entonces [math] \ sin (x) = \ pm 1 [/ matemática], y las soluciones a esa ecuación son los múltiplos impares de [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática]. Incluso cualquier valor complejo de [matemática] x [/ matemática] que no sean los múltiplos impares de [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática] sería un contraejemplo, pero mostrar que requiere matemática de nivel superior y algunos trabajo: si quieres saber por qué es así, está debajo de esta línea.
* Cosas más avanzadas (definitivamente no es necesario para responder a esta pregunta):
- Cómo integrar la siguiente función: [matemáticas] \ frac {x (x + 1)} {(e ^ x + x + 1) ^ 2} [/ matemáticas]
- Cómo demostrar [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0} \ frac {\ int_0 ^ x (xt) \ sin (t ^ 2) dt} {x \ sin ^ 3 (x)} = \ frac1 {12} [/matemáticas]
- ¿Cómo podemos simplificar [matemáticas] \ frac {\ frac {x ^ 2-4x + 4} {x} + \ frac {x} {x-2}} {\ frac {x-2} {x} + \ frac {x} {x ^ 2-4x + 4}} [/ matemáticas] a [matemáticas] x-2 [/ matemáticas] sin ninguna manipulación?
- Si [matemáticas] x = \ left (\ sqrt {15} + 4 \ right) ^ {1/3} + \ left (- {\ sqrt {15}} + 4 \ right) ^ {1/3} [/ matemáticas], ¿cuál será el valor de [matemáticas] x ^ 3 + 3x [/ matemáticas]?
- ¿Qué tipo de integral es esta? [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {5} e ^ {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {x} \ cos \ left (y ^ {2} \ right) \ mathrm {d} y} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]
De hecho, incluso cualquier valor complejo de [matemáticas] x [/ matemáticas] (que no sean los múltiplos impares de [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] es un contraejemplo.
[matemática] \ sin (a + bi) = \ frac {e ^ {i (a + bi)} – e ^ {- i (a + bi)}} {2i} [/ math] (una definición del seno de un número complejo)
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b + ai} – e ^ {b – ai}} {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b} e ^ {ai} – e ^ {b} e ^ {- ai}} {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b} \ left (\ cos (a) + i \ sin (a) \ right) – e ^ {b} \ left (\ cos (-a) + i \ sin (-a) \ right)} {2i} [/ math] (usando la fórmula de Euler)
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b} \ left (\ cos (a) + i \ sin (a) \ right) – e ^ {b} \ left (\ cos (a) -i \ sin ( a) \ right)} {2i} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b} \ cos (a) + ie ^ {- b} \ sin (a) – e ^ {b} \ cos (a) + ie ^ {b} \ sin ( a)} {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {e ^ {- b} \ cos (a) – e ^ {b} \ cos (a) + i \ left (e ^ {- b} \ sin (a) + e ^ {b } \ sin (a) \ right)} {2i} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {\ cos (a) \ left (e ^ {- b} – e ^ {b} \ right) + i \ sin (a) \ left (e ^ {- b} + e ^ { b} \ right)} {2i} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {-1} {2} i \ cos (a) \ left (e ^ {- b} – e ^ {b} \ right) + \ frac {1} {2} \ sin (a ) \ left (e ^ {- b} + e ^ {b} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sin (a) \ left (e ^ {- b} + e ^ {b} \ right) + \ frac {-1} {2} i \ cos (a ) \ left (e ^ {- b} – e ^ {b} \ right) [/ math]
Si esto es igual a [math] \ pm 1 [/ math], entonces:
[matemática] \ frac {1} {2} \ sin (a) \ left (e ^ {- b} + e ^ {b} \ right) = \ pm 1 \ text {y} \ frac {-1} { 2} \ cos (a) \ left (e ^ {- b} – e ^ {b} \ right) = 0 [/ math]
pero la segunda parte significa que [math] \ cos (a) = 0 [/ math] o [math] e ^ {- b} – e ^ {b} = 0 [/ math].
Si [math] \ cos (a) = 0 [/ math], entonces [math] \ sin (a) = \ pm 1 [/ math] (entonces [math] a [/ math] es un múltiplo impar de [math] ] \ frac {\ pi} {2} [/ math]), y eso deja [math] e ^ {- b} + e ^ {b} [/ math] como [math] 2 [/ math] o [math ] -2 [/ matemáticas], pero [matemáticas] e ^ {- b} + e ^ {b} [/ matemáticas] no es negativo, dejando [matemáticas] e ^ {- b} + e ^ {b} = 2 [/ math], entonces [math] e ^ {b} – 2 + e ^ {- b} = 0 [/ math], entonces [math] e ^ {- b} \ left (e ^ {b} -1 \ right) ^ 2 = 0 [/ math], para lo cual la única solución es [math] b = 0 [/ math].
Si [matemáticas] e ^ {- b} – e ^ {b} = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] e ^ {- b} = e ^ {b} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] e ^ {2b} = 1 [/ math], así que una vez más, [math] b = 0 [/ math]. [math] \ frac {1} {2} \ sin (a) \ left (e ^ {- b} + e ^ {b} \ right) = \ pm 1 [/ math] deja [math] \ frac {1 } {2} \ sin (a) \ left (1 + 1 \ right) = \ pm 1 [/ math], entonces, una vez más, [math] \ sin (a) = \ pm 1 [/ math], que hace que [math] a [/ math] sea un múltiplo impar de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math].
Por lo tanto, incluso en los números complejos, cualquier cosa que no sea un múltiplo impar de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math] es un contraejemplo de [math] \ sin (x) = \ frac {1} { \ sin (x)} [/ math].